VL 11: Monotonie und trigonometrische Funktionen - TU Dortmund Höhere Mathematik I (BCI/BW/MLW)

Einen wunderschönen guten Morgen und herzlich willkommen zurück zur Vorlesung Höhere Mathematik 1 für BCI, BW, MLW. Wir sind in Vorlesung 11 angekommen und sprechen weiter über reelle Funktionen. Also Definition 2.14: Sei I Teilmenge von R. Für f von I nach R wird der Graph von f, das ist die Menge aller Punkte (x, f von x), für die gilt: x ist aus I. Das ist natürlich eine Teilmenge von R². Der Graph einer Funktion f von R nach R ist also eine Teilmenge des R².

Wie sieht es aus bei einer Funktion \( g \), die von \( \mathbb{R}^2 \) nach \( \mathbb{R} \) geht? Das werden wir uns im nächsten Semester anschauen, wie so etwas eigentlich aussieht. Das ist natürlich der Graph, dann die Teilmenge von \( \mathbb{R}^3 \). Tatsächlich addieren sich hier die Dimensionen. 2 plus 1 ist dann 3.

Und wenn man jetzt aus dem ℝ³ nach ℝ abbildet, dann wäre der Graph eine Teilmenge des ℝ³. Das können wir uns aber noch nicht einmal bildlich vorstellen, wie das dann aussehen soll. Es gibt da bestimmte Theorien; bei ℝ⁴ funktioniert die vierte Dimension wieder. Aber dann kann man ja auch weitermachen. Von ℝ auf ℝ⁴ haben wir dann ℝ auf ℝ⁵ und so weiter. Okay, also sehen wir uns natürlich hauptsächlich Funktionen jetzt von ℝ nach ℝ an.

Beispiele für Graphen: Ihr alle kennt den Graphen von zum Beispiel f von x gleich 2x plus 3 aus der Schule. Das ist natürlich eine sogenannte Gerade. Wenn man noch ein bisschen genauer ist, weiß man, okay, die Zahl vor dem x hier ist die Steigung der Geraden, also hat sie die Steigung 2. Und diese Zahl hier hinten ohne x, mit dem Vorzeichen davor, ist der y-Achsenabschnitt. Also, wo schneidet die Gerade die y-Achse? Warum? Ja, wenn man einfach x gleich 0 einsetzt, das ist ja die y-Achse, dann schneidet sie das bei 3.

So, also, den Graphen der Funktion f von x, wobei x gleich x² ist. Wie heißt das Gebilde noch einmal? Könnt ihr euch daran erinnern? Ganz genau, eine Parabel. Wir werden im Laufe des Semesters und auch im nächsten Semester noch viele neue Graphen kennenlernen.

Wartet mal ab. Gut, Definition 2.16: 1. Sei I eine Teilmenge von ℝ. Eine Funktion f von I nach ℝ heißt monoton wachsend, falls für beliebige x₁, x₂ aus der Menge I gilt: x₁ < x₂, daraus folgt f(x₁) ≤ f(x₂). Wenn das hier gilt, dann nennt man das monoton wachsend.

Monoton fallend, falls für beliebige \(x_1, x_2\) aus \(I\) gilt: \(x_1 < x_2\), daraus folgt \(f(x_1) \geq f(x_2)\). Monoton fallend, Definition 2.16 weiter. Zweitens gilt in 1 sogar ein echtes Ungleichheitszeichen. So nennen wir die Monotonie streng. Schreiben wir es einfach nochmal komplett auf.

Eine Funktion \( f \) von \( I \) nach \( R \) heißt streng monoton wachsend, falls für beliebige \( x_1, x_2 \) aus \( I \) gilt: \( x_1 < x_2 \), daraus folgt \( f(x_1) < f(x_2) \). Streng monoton fallend bedeutet analog, dass, wenn \( x_1 < x_2 \), dann folgt \( f(x_1) > f(x_2) \). Hinweis: Für den Begriff "monoton wachsend" wird auch manchmal der Begriff "monoton steigend" verwendet, was völlig gleichbedeutend ist. Lassen Sie uns das noch einmal betrachten: Eine Funktion \( f \) heißt streng monoton wachsend, falls für beliebige \( x_1, x_2 \) aus \( I \) gilt: \( x_1 < x_2 \), daraus folgt \( f(x_1) < f(x_2) \).

Wir schauen uns das mal am Beispiel an. Schauen wir uns mal den Graphen der Funktion f von x gleich x hoch 3 an. Was bedeutet das hier? Was machen wir? x1 kleiner x2 bedeutet, wir gehen einfach hier auf der x-Achse von links nach rechts.

Auf der reellen Achse gehen wir quasi von links nach rechts. Die x-Werte werden dabei immer größer. Daraus folgt, dass auch unsere Funktionswerte immer größer werden. Man nennt das streng monoton wachsend. Wenn wir von links nach rechts schauen, sieht man das nicht so gut. Wir starten hier mal bei minus 1 oder so.

Da sind wir hier. Wir gehen jetzt immer weiter, dann sieht man, dass die Funktionswerte immer größer werden. Je weiter wir nach rechts gehen, desto größer werden sie. Es sieht hier so ein bisschen so aus, als würden sie gleich bleiben, aber nein. Sie nähern sich immer mehr der Null, erreichen irgendwann die Null und gehen dann weiter. An keiner Stelle bleibt es gleich, sondern wird immer weiter, immer größer.

Und dann nennt man das streng monoton wachsend. Es gibt Funktionen, da ist das tatsächlich so, dass sie dann so hochgehen und anschließend eine Zeit lang auf demselben Funktionswert bleiben, bevor sie weiter steigen. Das wäre dann nicht mehr streng monoton wachsend. Wenn das auch nur einmal passiert, also dass zweimal derselbe Funktionswert erreicht wird und es dann erst höher geht, dann wäre es nicht mehr streng monoton wachsend, sondern monoton wachsend. An dieser Stelle wäre dann nämlich ein „kleiner gleich“ erlaubt. Dann wäre es zulässig, dass der Funktionswert gleich bleibt.

Für einen Funktionswert, zwei, unendlich viele, ganz egal. Das nennt sich dann eben nicht mehr streng Monotonität, sondern monoton wachsen. Bei streng monotonem Wachsen darf das eben nie passieren. Wenn man immer etwas nach rechts geht, und sei es auch nur ein ganz minimales Stück, wird der Funktionswert größer. Ich hoffe, das war einigermaßen verständlich, mein Gerede jetzt hier.

Und wir wollen mal sehen, Max ist schon in den Startlöchern. Er erzählt euch nochmal etwas über Monotonie im Allgemeinen und auch über strenge Monotonie. Bis später dann! In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Monotonie bzw. mit der strengen Monotonie von Funktionen. In der ersten Aufgabe betrachten wir die Funktion f, die von ℝ nach ℝ abbildet, mit f von x gleich 3x plus 5 und sollen zeigen, dass diese im strengen monoton wachsenden auf ihremDefinitionsbereich ist, also auf ganz ℝ. Denn das stimmt hier überein.

Umgangssprachlich müssen wir jetzt quasi zeigen: Je größer meine \( x \)-Werte werden, desto größer werden auch die Funktionswerte an den zu betrachtenden \( x \)-Werten. Also nehmen wir uns zwei beliebige Werte aus der zu betrachtenden Menge, \( x_1 \) und \( x_2 \). Wenn jetzt \( x_1 \) kleiner ist als \( x_2 \), dann muss auch daraus folgen, dass \( f(x_1) \) kleiner ist als \( f(x_2) \). Das bedeutet, dass dieses Ungleichheitszeichen hier übereinstimmt. Je größer meine \( x \)-Werte werden, also \( x_2 > x_1 \), desto größer werden auch die Funktionswerte an diesen \( x \)-Werten, also ist \( f(x_2) \) größer als \( f(x_1) \).

Und das muss dann quasi für jedes beliebige Element aus der zu betrachtenden Menge, in diesem Fall ℝ, gelten. Dann ist die Funktion streng monoton wachsend auf eben dieser Menge. So steht hier rechts auf der rechten Seite ein echtes Ungleichungszeichen, dann ist es streng monoton; steht hier aber nur sozusagen kleiner gleich, dann ist es nur monoton wachsend. Jetzt gibt es natürlich die Möglichkeit, dass etwas monoton ist, steht hier aber nur kleiner gleich. Dann ist es nur monoton wachsend.

Jetzt gibt es natürlich auch monoton fallend. Für die erste Aufgabe ist das nicht wichtig, für später schon. Dort heißt es: Wenn x₁ kleiner ist als x₂, dann muss daraus folgen, dass f von x₁ echt größer ist als f von x₂. Das bedeutet, je größer meine x-Werte werden, desto kleiner werden die Funktionswerte an den entsprechenden Stellen. Und hier ist auch wieder dieses Ungleichheitszeichen so: Dann ist es streng monoton fallend.

Habe ich hier drunter noch diesen Strich, dann ist es also streng monoton fallend. Habe ich hier drunter noch diesen Strich, dann ist es nur monoton fallend. Okay, wir sollen hier aber stehen, rengen, hundert und wachsen zeigen. Das bedeutet, wir fangen mal an. Wir zeigen das jetzt also mathematisch und nicht irgendwie grafisch. Seien \( x_1 \) und \( x_2 \) aus \( \mathbb{R} \), also der zur betrachteten Menge, die stimmt jetzt hier mit dem Definitionsbereich überein; mit \( x_1 < x_2 \) muss ich jetzt zeigen, dass \( f(x_1) < f(x_2) \). Also gilt, wir betrachten jetzt mal \( f(x_1) \).

Das ist ja 3 mal x₁ plus 5. Die plus 5 hier ist ja unabhängig von dem x₁. Wir addieren einfach plus 5 dazu, alles gut. So, was passiert denn jetzt, wenn ich das x₁ durch x₂ ersetze? Wobei x₂ echt größer ist als x₁.

Ja, 3 mal x₁ ist natürlich kleiner als 3 mal x₂, wenn x₂ größer ist als x₁. Das bedeutet, wir können hier schreiben, dass dieser Ausdruck kleiner oder gleich ist, weil x₁ kleiner ist als x₂, 3x₂² plus 5. Ihr müsst euch also überlegen, dass 3x₁ kleiner oder gleich 3 mal x₂ ist, weil x₂ eben größer ist als x₁. Ihr könnt auch gerne mal Zahlen einsetzen, nur um das kurz zu überprüfen.

Drei mal drei ist natürlich kleiner gleich drei mal vier und so weiter und so fort. Das könnt ihr jetzt mit jeder beliebigen Kombination aus R machen. Also zum Beispiel: Drei mal minus eins ist natürlich kleiner gleich drei mal null, und null ist größer als minus eins. So, aber was ist das jetzt hier? Das ist ja f von x2. Was haben wir jetzt also gezeigt?

Wir haben gezeigt, dass aus \( x_1 < x_2 \) folgt, dass \( f(x_1) \leq f(x_2) \) ist. Das bedeutet, dass \( f \) auf ganz \( \mathbb{R} \) definiert ist, weil \( x_1 \) und \( x_2 \) aus \( \mathbb{R} \) stammen und \( f \) nicht eingeschränkt und monoton wachsend ist. Warum nur monoton? Weil wir hier nur ein „kleiner gleich“-Zeichen haben. Jetzt kann man sich überlegen, ob dieser Strich hier eigentlich notwendig ist. Nein, ist er nicht.

Denn hier steht, dass \( x_1 \) echt kleiner ist als \( x_2 \). Das bedeutet, dass dann auch \( 3 \cdot x_1 \) echt kleiner sein muss als \( 3 \cdot x_2 \). Folglich ist die Funktion \( f \) sogar streng monoton wachsend, weil die echte Ungleichung gilt: \( f(x_1) \) ist echt kleiner als \( f(x_2) \). Damit haben wir quasi gezeigt, dass ihr den Strich unten weglassen könnt, die Ungleichung wird trotzdem erfüllt, und daher ist die Funktion streng monoton wachsend auf \( \mathbb{R} \). Also nochmal kurz zusammengefasst: Ihr nehmt euch zwei Elemente aus der zu betrachtenden Menge, hier stimmt ihr mit dem Definitionsbereich überein, und nehmt dann an, dass \( x_1 \) kleiner ist als \( x_2 \). Dann müsst ihr schauen: Was macht \( f(x_1) \) im Vergleich zu \( f(x_2) \)? Ist es größer gleich, kleiner gleich, echt kleiner oder echt größer? Daraus könnt ihr dann folgern, ob die Funktion monoton oder streng monoton ist und ob sie monoton wachsend oder monoton fallend ist.

In der zweiten Aufgabe sollen wir zeigen, dass die Funktion \( g \), die von \( \mathbb{R} \) nach \( \mathbb{R} \) abbildet mit \( g(x) = 2 \), sowohl monoton fallend als auch monoton wachsend auf ihrem Definitionsbereich ist, also auf \( \mathbb{R} \). Das stimmt ja so überein. Okay, und das ist ja schon etwas Besonderes. Eine Funktion ist auf ganz \( \mathbb{R} \) gleichzeitig monoton fallend und auch monoton wachsend. Ja, denn, ich nehme das schon mal vorweg, wir haben ja eine konstante Funktion. Und das ist bei konstanten Funktionen immer der Fall. So, aber wir fangen mal an.

Wir wollen das natürlich nachweisen. Seien also \( x_1 \) und \( x_2 \) aus der zu betrachtenden Menge, in diesem Fall \( \mathbb{R} \), was mit dem Definitionsbereich übereinstimmt, und \( x_1 \) ist echt kleiner als \( x_2 \). Da müssen wir jetzt quasi für monoton wachsend zeigen, dass daraus folgt \( g(x_1) < g(x_2) \). Schauen wir uns mal \( g(x_1) \) an. Das heißt, hier setzen wir für \( x \) \( x_1 \) ein, und man sieht, da die Funktion konstant ist, kommt da auf jeden Fall 2 raus. Wir müssen jetzt zeigen, dass das hier gleich \( g(x_2) \) ist. Und das können wir ganz leicht zeigen, denn 2 ist ja kleiner gleich sich selbst, also 2.

Und das ist komplett unabhängig davon, dass \(x_1\) kleiner \(x_2\) ist. Denn egal, was man hier oben für das Argument einsetzt, es kommt immer 2 raus, weil wir eben eine konstante Funktion haben. Das heißt, die 2 hier rechts kann ich auch darstellen oder schreiben als \(g\) von \(x_2\). Das heißt, was haben wir gezeigt? Aus \(x_1 < x_2\) folgt \(g(x_1) \leq g(x_2)\).

Und das ist die Definition für monoton wachsend, und wegen dem hier auf ganz \( \mathbb{R} \). So, und jetzt kommt's. Das hier spielt gar keine Rolle für diese Aufgabe. Deswegen können wir zeigen, dass \( g \) von \( x_1 \), was ja 2 ist, auch gleichzeitig größer oder gleich \( g \) von \( x_2 \) ist. Wie gesagt, 2 ist natürlich größer oder gleich 2, 2 ist kleiner oder gleich 2, und das hier spielt gar keine Rolle. Das heißt, ich kann dieses Ungleichungszeichen hier drunter natürlich auch immer tauschen, denn 2 ist immer gleich 2.

Also, wenn man sich nur das anschaut, haben wir gezeigt, dass aus \( x_1 < x_2 \) folgt, dass \( g(x_1) \geq g(x_2) \) für alle \( x_1 \) und \( x_2 \) aus \(\mathbb{R}\). Und das ist die Definition von monoton fallend. Also haben wir gezeigt, dass \( g \) auf ganz \(\mathbb{R}\) sowohl monoton wachsend als auch monoton fallend ist, aber jetzt kommt es: niemals streng monoton, denn dafür müsste hier beziehungsweise hier ein echtes Ungleichheitszeichen gelten, und das gilt nicht, denn \( 2 \) ist nie echt kleiner \( 2 \) beziehungsweise \( 2 \) ist nie echt größer \( 2 \).

Das heißt, hier kann niemals ein echtes Ungleichungszeichen stehen, und daher ist die Funktion nirgendwo streng monoton. Und damit sind wir fertig. In der dritten Aufgabe sollen wir zeigen, dass die Funktion h, die abbildet von ℝ ohne 0 nach ℝ ohne 0 mit h von x gleich 1 durch x auf den Intervallen minusunendlich bis 0 und 0 bis unendlich, beides offene Intervalle, jeweils streng und monoton fallend ist. Aber warum können wir nicht einfach eine Untersuchung machen und dann eben schreiben, h von x ist auf ℝ ohne 0, die 0 müssen wir natürlich rausnehmen, weil 1 durch 0 nicht definiert ist, streng monoton fallend? Warum müssen wir hier zwei Untersuchungen machen? Die Begründung ist eigentlich recht leicht, denn das wäre falsch.

Schauen wir uns mal die Funktion \( h \) an. Für \( x > 0 \) sieht sie ungefähr so aus, für \( x < 0 \) sieht sie so aus. Und man sieht, auf dem ganzen Definitionsbereich, also auf \( \mathbb{R} \) ohne 0, ist die Funktion halt nicht monoton fallend. Sie fällt zwar für \( x < 0 \), das sieht man hier, sie fällt. Und auch für \( x > 0 \) fällt sie, aber eben auf dem ganzen nicht.

Weil sie bei \( x \) gleich 0, beziehungsweise von links, wenn man die 0 dann überspringt, so einen Sprung macht. Für sehr nah an der 0, aber von links, ist der Funktionswert sehr, sehr klein. Und von \( x \) gleich 0 ein bisschen weiter rechts davon ist der Funktionswert sehr, sehr groß. Das heißt, aufgrund dieses Sprungs ist die Funktion auf ihrem gesamten Definitionsbereich nicht streng monoton, aber eben auf diesen beiden Teilintervallen. Das wollen wir einmal zeigen.

Wir starten also mit dem Intervall minus und ähnlich bis 0. Also, erstens seien \( x_1 \) und \( x_2 \) aus dem Intervall minus und ähnlich bis 0, mit \( x_1 < x_2 \). Und das ist jetzt wichtig: \( x_1 \) ist zwar kleiner als \( x_2 \), aber beide sind negativ, weil sie eben aus diesem Intervall kommen. Das ist wichtig für gleich. Und jetzt müssen wir uns hier anschauen, \( h(x_1) \) und \( h(x_2) \).

H von x1 ist dann also 1 durch x1. Wenn x1 kleiner ist als x2, aber negativ, dann ist 1 durch x1 größer als 1 durch x2. Macht euch das gerne an einem Beispiel mal klar. Setzt x1 gleich minus 2 und x2 muss ja größer sein, aber immer noch negativ, also minus 1. Dann seht ihr, dass 1 durch x1 minus 0,5 ist und 1 durch x2 minus 1 ist.

Setzt hier \( x_2 \) ein, dann steht da \( \frac{1}{-1} \), das ist \(-1\). Und ihr seht, \(-1,5\) ist größer als \(-1\). Und das gilt natürlich für alle Elemente, die das hier erfüllen. Und \( \frac{1}{x_2} \) ist ja dann nichts anderes als \( h(x_2) \). Wir haben gezeigt, dass aus \( x_1 < x_2 \) mit \( x_1, x_2 \) aus diesem Intervall folgt, dass \( h(x_1) > h(x_2) \). Somit ist \( h \) auf dem Intervall \(-\infty\) bis \(0\) streng monoton fallend.

So, dann kommen wir zum zweiten Intervall, 0 bis unendlich. Das bedeutet, nun sind \(x_1\) und \(x_2\) aus dem Intervall 0 bis unendlich, also positiv, mit \(x_1 < x_2\). Und dann schauen wir uns wieder \(h\) von \(x_1\) und \(h\) von \(x_2\) an. Und hoffentlich kommt dann heraus, dass \(h\) von \(x_1\) größer ist als \(h\) von \(x_2\). Okay, starten wir aber mit \(h\) von \(x_1\).

Das ist 1 durch x1. So, und das können wir jetzt wieder nach unten abschätzen. Also können wir schreiben, das ist größer als 1 durch x2. Und dann schauen wir uns wieder h von x1 und h von x1 an. So, und das können wir jetzt wieder nach unten abschätzen.

Also, wir können schreiben, dass 1 durch \( x_2 \) größer ist als \( x_1 \), weil \( x_1 \) kleiner ist als \( x_2 \). Daher gilt diese Ungleichung. Ihr könnt das gerne mal wieder testen. \( x_1 \) ist positiv, aber kleiner als \( x_2 \), das heißt zum Beispiel 1. \( x_2 \) ist größer als \( x_1 \), also 2. Dann ergibt sich natürlich, dass 1 durch 1 gleich 1 ist.

Das ist größer als 1 durch 2. Und das gilt dann natürlich, das ist nur ein konkretes Beispiel, das gilt natürlich für alle Elemente, die das hier erfüllen. Und 1 durch x² ist natürlich h von x² und das gilt für alle Elemente, die das erfüllen. Das bedeutet, somit ist h auf dem Intervall 0 bis unendlich streng monoton fallend. Aber wichtig, h ist nicht auf ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton fallend, weil, wie ich euch gesagt habe, bei der Definitionslücke macht der Funktionsgraph nämlich einen Sprung. In der vierten Aufgabe sollen wir zeigen, dass die Funktion j, die abbildet von ℝ nach ℝ mit j von x gleich Betrag von x, auf dem offenen Intervall minus unendlich bis 0 streng monoton fallend ist und auf dem offenen Intervall 0 bis unendlich streng monoton wachsend.

Wir werden gleich sehen, dass man diese Intervalle hier auch halb offen hätte wählen können, also die 0 jeweils mit hineinnehmen, also die eckige Klammer hier auch. Dann wäre die Aussage immer noch richtig. Das könnt ihr gerne machen, aber das ist hier nicht so wichtig. Das, was hier steht, ist natürlich weiterhin richtig. Also, kommen wir zu erstens: Wir schauen uns dieses Intervall an. Wir nehmen also \( x_1 \) und \( x_2 \) aus diesem Intervall mit \( x_1 < x_2 \).

Und dann schauen wir uns jetzt \( j \) von \( x_1 \) an und \( j \) von \( x_2 \). Also \( j \) von \( x_1 \) ist ja dann der Betrag von \( x_1 \). Und wir wissen ja, \( x_1 \) ist auf jeden Fall negativ, was bedeutet, um den Betrag hier aufzulösen, machen wir ein Minuszeichen davor. Das ist gleich minus \( x_1 \). Das können wir jetzt nach unten abschätzen.

Wir können also hier ein größeres Zeichen machen, weil x1 kleiner als x2 ist. Und beide sind negativ, das ist wichtig. Ist minus x1 größer als minus x2? Könnt ihr das gerne wieder anhand eines Beispiels machen.

Ich wähle \( x_1 \) gleich minus 2, und \( x_2 \) ist auch in diesem Intervall dabei, größer als \( x_1 \), also minus 1. Und dann seht ihr, minus minus 2 ist 2 und das ist größer als minus minus 1, und das ist 1. 2 ist größer als 1. Und das gilt natürlich für alle \( x_1 \) und \( x_2 \), die das hier erfüllen. Und minus \( x_2 \), weil \( x_2 \) ja negativ ist, ist das Gleiche wie der Betrag von \( x_2 \), und das ist ja nichts anderes als \( j(x_2) \). Das heißt, wir haben gezeigt, dass mit \( x_1 < x_2 \), wobei \( x_1, x_2 \) aus diesem Intervall, folgt, dass \( j(x_1) \) echt größer ist als \( j(x_2) \).

Das ist die Definition von streng monoton fallend. Das bedeutet, \( j \) ist auf dem Intervall von minus unendlich bis 0 streng monoton fallend. So, und jetzt, wie man hoffentlich sieht, wenn man hier quasi die Null mit reinstellt, dann wäre die Ungleichung immer noch erfüllt. Deswegen könnte man das auch so machen. In dieser Aufgabe ist jedoch hier das offene Intervall gegeben, also lassen wir das so.

Dann kommen wir zu zweitens. X1 und X2 sind jetzt aus dem grünen Intervall, also von 0 bis unendlich, also positiv mit X1 kleiner als X2. Dann schauen wir uns wieder J von X1 an. Das ist ja der Betrag von X1. Und weil X1 positiv ist, kann ich, um den Betrag aufzulösen, einfach die Betragstriche weglassen.

Das ist also einfach \( x_1 \). Und wir wissen ja, \( x_1 \) ist wirklich kleiner als \( x_2 \). Deswegen ist diese Ungleichung hier, haben wir zweimal das Gleiche hingeschrieben. \( x_2 \) ist auch positiv, das bedeutet, \( x_2 \) ist natürlich gleich dem Betrag von \( x_2 \) und das ist gleich \( j(x_2) \). Also haben wir gezeigt, dass \( x_1 < x_2 \), daraus folgt \( j(x_1) < j(x_2) \), wobei \( x_1 \) und \( x_2 \) aus diesem Intervall hier sind. Also haben wir gezeigt, dass \( j \) auf diesem Intervall \( (0, \infty) \) streng monoton wachsend ist. Und auch hier, wenn wir die 0 mit reingenommen hätten, wäre die Ungleichung immer noch wahr.

Also würde das auch gehen. Haben wir jetzt hier nicht, also sind wir jetzt fertig. Korrelat 217 seien \(i\) und \(w\) Teilmengen von \(\mathbb{R}\). Für eine Funktion \(f\) von \(i\) nach \(w\) gilt: \(f\) ist streng monoton, da ist egal, ob wachsend oder fallend; wichtig ist, dass es streng monoton ist. Dann folgt daraus, wir kriegen also dann quasi geschenkt, dass \(f\) injektiv ist. Wenn wir also eine streng monotone Funktion haben, dann ist \(f\) injektiv. Brauchen wir gar nicht mehr nachrechnen; ist dann einfach so.

Das ist natürlich eine coole Sache, und das beweisen wir jetzt auch mal. Also führen wir den Nachweis für den Fall "wachsend", also monoton wachsend, oder manchmal sagt man ja auch monoton steigend. Fallen geht dann ganz analog; da muss man nur die Ungleichheitszeichen etwas anders schreiben. Zur Erinnerung: Um die Injektivität zu zeigen, was mussten wir da machen? Wir nehmen an, wir hätten zwei x-Werte, x1 und x2, aus dem Definitionsbereich mit identischem Funktionswert.

Also, wir haben dann den Fall, dass f von x1 gleich f von x2 ist. Um zu zeigen, dass die Funktion injektiv ist, müsste man zeigen, dass dies nur möglich ist, wenn bereits x1 gleich x2 ist. Wir wissen ja, Injektivität bedeutet, dass keine zwei x-Werte auf denselben y-Wert beziehungsweise auf denselben Funktionswert abgebildet werden. Damit hätten wir dann die Injektivität von f gezeigt. Gehen wir mal die verschiedenen Möglichkeiten für x1 und x2 durch.

Wir wollen herausfinden, dass \( x_1 \) gleich \( x_2 \) ist. Wir haben jedoch drei Möglichkeiten dafür. Nehmen wir also an, unsere Funktion wäre streng monoton wachsend und es gelte für beliebige \( x_1, x_2 \) aus \( I \), dass \( f(x_1) \) gleich \( f(x_2) \) ist. Wir wollen ja Injektivität zeigen. Das ist dann unsere Voraussetzung.

Wir wollen zeigen, dass x1 gleich x2 ist. Jawohl. Also, wir wollen zeigen, dass x1 gleich x2 ist. Möglich sind jetzt drei Fälle. Vergleiche Kapitel 1.

Für a, b aus ℝ gilt stets genau eine der Beziehungen a kleiner b, a größer b oder a gleich b. Genauso ist das auch für x₁. Die können kleiner sein, größer, also x₁ kleiner x₂, x₁ größer x₂ oder x₁ gleich x₂. Wir gehen die Fälle nacheinander durch. Der erste ist x₁ kleiner x₂. Was haben wir dann? Wir wissen ja nach Voraussetzung, dass f streng monoton wachsend ist.

Und das sagt eben genau, wenn \( x_1 \) kleiner \( x_2 \) ist, folgt daraus, dass \( f(x_1) \) kleiner \( f(x_2) \) ist. Und das ist natürlich ein Widerspruch zu dem, was wir gerade gesagt haben, nämlich \( f(x_1) \) gleich \( f(x_2) \). Kann also nicht sein. Der Fall \( x_1 \) kleiner \( x_2 \) kann es nicht sein, kann gar nicht auftreten. Sonst hätten wir nicht, dass die beiden Funktionswerte gleich sind. Ja, machen wir den nächsten Fall.

X₁ ist größer als X₂. Wieder das Gleiche. Da f streng monoton wachsend ist, wenn X₁ größer X₂ ist, dann ist f von X₁ größer als f von X₂. Je weiter wir nach rechts auf der reellen Achse gehen, desto größer werden die Funktionswerte. Da X₁ weiter rechts auf der Achse liegt, ist auch der Funktionswert größer als der von dem kleineren X₂.

Und das ist wieder ein Widerspruch zu unserer Annahme, dass die beiden ja gleich sind. Das kann also auch nicht eintreten. Dann bleibt also nur noch der dritte Fall, und damit sind wir dann auch fertig: \(X_1\) gleich \(X_2\). Wir haben ja gesagt, es gibt nur drei Möglichkeiten.

Die, die oder die. Und die wollen wir ja haben. Wir wollen, dass es x1 gleich x2 ist. Die anderen beiden haben wir jetzt schon ausgeschlossen. Also muss es die dritte sein.

Wir sind also fertig, denn da \(x_1 < x_2\) nicht auftreten kann und genauso \(x_1 > x_2\) nicht auftreten kann, und ebenso \(x_1 \leq x_2\) nicht auftreten kann, muss gelten, dass die beiden gleich sind. Damit haben wir die Injektivität gezeigt. Wenn zwei Funktionswerte gleich sind, geht das nur bei einer streng monoton wachsenden Funktion, dass die beiden \(x\)-Werte schon gleich sind. Wir haben also gezeigt, dass es sich um eine streng monotone Funktion handelt; wir haben es jetzt nur für die steigende Funktion gezeigt, aber für fallende Funktionen könnt ihr euch ja mal überlegen, ob das ganz analog geht.

Man muss dann einfach nur hier ein bisschen anders sein, dann ändern sich diese Dinge, das war es dann schon. So, es ist stets injektiv. Zack, damit haben wir das gezeigt und können auch ab sofort das dann benutzen. Bemerkung 2.18: Die Rückrichtung, also eine injektive Funktion, daraus folgt, dass sie streng monoton wachsend oder fallend ist, klappt nicht.

Im Allgemeinen ist das so nicht richtig. Wie zeigen wir das? Ja, wir geben ein Gegenbeispiel an, wo es nicht so ist. Und ein Beispiel dafür ist zum Beispiel \( f : \mathbb{R} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R} \setminus \{0\} \) mit \( f(x) = \frac{1}{x} \). \( f \) ist injektiv, sogar bijektiv, aber auf dem ganzen Definitionsbereich nicht streng monoton fallend. Wie kriegen wir raus, dass das nicht streng monoton fallend ist? Wir gucken uns das mal am Graphen der Funktion an.

Das ist der Graph der Funktion \( \frac{1}{x} \). Bei \( 0 \) ist die Funktion ja nicht definiert, deswegen haben wir auch keinen Funktionswert bei \( 0 \). Jetzt sehen wir natürlich, dass alles hier streng monoton fallend ist. Es geht immer weiter. Und egal, wo wir uns hier befinden, wenn wir uns nach rechts bewegen, bleibt es immer streng monoton fallend.

Probleme bekommen wir da erst, wenn wir ein \( x \) aus dem Bereich nehmen und als zweites \( x \) ein \( x \) aus dem Bereich. Dann sieht man ja schon, der Funktionswert von dem \( x \) aus dem Bereich ist negativ. Der Funktionswert von dem \( x \) aus dem Bereich ist auf jeden Fall positiv. Das heißt auf jeden Fall größer als der Funktionswert hier auf der linken Seite. Und das wäre bei streng monoton fallend quasi ein Widerspruch.

Weil, wenn wir weiter nach rechts gehen, müssen die Funktionswerte immer weiter fallen. Hier sind sie negativ, da sind sie positiv, offensichtlich verantwortlich. Wellen sie dann nicht, wenn man diesen einen Sprung hier macht. Und man muss die Funktion immer als Ganzes sehen. Das muss für alle \(x_1\) und \(x_2\) gelten, mit \(x_1 < x_2\). Das ist also das Gegenbeispiel dazu.

Das gerade betrachtete Beispiel zeigt, dass es manchmal sinnvoll ist, Funktionen, zum Beispiel deren Monotonie, abschnittsweise zu betrachten. Wir haben ja gesehen, dass wir hier zwei Bereiche haben: einmal den linken Bereich, wo es komplett streng monoton fallend war, und im rechten Bereich war es ebenfalls komplett streng monoton fallend. Aber insgesamt gesehen konnten wir das nicht bekräftigen. Das heißt, wir betrachten Funktionen sinnvollerweise abschnittsweise.

Beispiel 2.19. Die Funktion \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x) = \frac{1}{x} \) ist streng monoton fallend auf \((- \infty, 0)\) und streng monoton steigend auf \((0, \infty)\). Das ist eine Eigenschaft, die man durchaus nutzen kann. Insgesamt kriegen wir es nicht, aber auf diesen beiden Intervallen ist sie streng monoton fallend. Zweitens, die Funktion \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x) = x^2 \) ist für \( x \leq 0 \) streng monoton fallend. Wir wissen ja, wie das Ding aussieht.

Wenn \( x \) kleiner gleich 0 ist, ist es auf jeden Fall streng monoton fallend, und für \( x \) größer gleich 0 wissen wir, wie das aussieht: für \( x \) kleiner gleich 0 ist es auf jeden Fall streng monoton fallend und für \( x \) größer gleich 0 ist es streng monoton wachsend. Also ist es streng monoton fallend, und für \( x \) größer gleich 0 ist es streng monoton wachsend. Es macht also wirklich Sinn, von Abschnitten zu sprechen. Definition 220: Für \( a > 0 \) sei eine Funktion \( f \) von \( -a \) bis \( a \) nach \( \mathbb{R} \) gegeben.

\( f \) heißt gerade, falls gilt \( f(x) = f(-x) \) zwar für alle \( x \) aus diesem Intervall von \(-a\) bis \(a\). Deswegen haben wir auch \(-a\) bis \(a\) genommen. Jeder Funktionswert muss auftauchen, einmal ein Plus, einmal ein Minus. Deswegen haben wir das jetzt mal so geschrieben. So, also für alle \( x \) mit \(-a \leq x \leq a\). Das nennt man gerade, wenn es egal ist, ob man das Negative einsetzt oder das ohne Minuszeichen, es kommt der gleiche Funktionswert heraus. Bei ungeraden Funktionen haben wir einen etwas anderen Fall, da haben wir \( f(-x) \). Das ist jetzt nicht gleich \( f(x) \), sondern gleich \(-f(x)\).

Und genauso der Rest dahinter, genau wie gerade. Also eine gerade Funktion hat für die negative Seite die gleichen Funktionswerte wie für die positive Seite. Eine ungerade Funktion hat für die negative Seite fast die gleichen Funktionswerte, allerdings mit einem Minus. Da wechselt man nochmal von oben nach unten oder von unten nach oben. Ihr kennt das ja auch schon aus der Schule. Eine gerade Funktion kann man an der y-Achse spiegeln und ist dann identisch.

Ungerade Funktionen kann man am Nullpunkt spiegeln und sie sind dann identisch. Corolla 221. Erstens, das Produkt zweier gerader Funktionen: Wir haben eine gerade Funktion und eine gerade Funktion. Wenn wir diese multiplizieren, ergibt sich eine gerade Funktion. Das wollen wir jetzt kurz beweisen.

Denn um zu zeigen, dass \( f \) und \( g \) gerade Funktionen sind, betrachten wir jetzt \( h(x) \). Das definieren wir einfach als \( f(x) \cdot g(x) \). Das ist eine gerade Funktion. Was bedeutet das für eine gerade Funktion? Das haben wir gerade definiert. Das heißt, es muss gelten, vergleichbar mit der Definition von gerade, dass \( h(-x) \) dasselbe sein muss wie \( h(x) \). Und das zeigen wir jetzt einfach.

Wir starten mit h von minus x, setzen alles ein, was wir wissen, und erhalten dann h von x. Damit haben wir gezeigt, dass h eine gerade Funktion ist. Also h von minus x, und was war h von x? Das ist f von x mal g von x. Dann ist h von minus x einfach in der Definition f von minus x mal g von minus x. Wissen wir irgendetwas? Ja, wir wissen, dass f und g gerade Funktionen sind. Was bedeutet das für sie?

Ja, für die heißt das, dass f von minus x gleich f von x ist und g von minus x gleich g von x. Also, einfach nur, weil das gerade Funktionen sind, können wir dafür auch dasselbe schreiben ohne Minuszeichen. So, und was ist f von x mal g von x? Haben wir uns ja gerade selbst definiert, ist h von x. Also sind wir fertig.

H ist eine Gerade von x. So einfach ist das. Weiter gelten: Das war noch das Erste. Wir haben noch zweitens und drittens. Zweitens: Das Produkt zweier ungerader Funktionen – was ist das wohl? Zwei gerade Funktionen multipliziert ergibt eine gerade Funktion. Zwei ungerade Funktionen multipliziert ergeben ebenfalls eine gerade Funktion. Und drittens: Das Produkt einer geraden Funktion und einer ungeraden Funktion – was ist das wohl? Richtig, das ist ungerade. Man kann sich das auch mit dem Minus erklären.

Minus mal Minus ist Plus und Plus mal Minus ist eben Minus. Also, Beweis zu zweitens und drittens, das macht ihr in den Übungen mal selbst. Das stellen wir euch als Aufgabe. Wir wissen schon aus Kapitel 1, also fangen wir jetzt noch ein neues Unterkapitel an, nämlich 3. Trigonometrische Funktionen. Wir haben schon bei Polarkoordinaten über Sinus, Cosinus und auch Tangens ein bisschen gesprochen.

Wir wollen das noch ein bisschen ergänzen. Also, Cosinus- und Sinusfunktionen sind \(2\pi\)-periodisch. Das haben wir damals am Einheitskreis erklärt, wie sie überhaupt entstehen. Und natürlich macht es Sinn, dass nach \(2\pi\), also wenn man einmal um den Kreis herum gegangen ist, alles wieder von vorne anfängt. Genauso, wenn man andersherum geht, also das Negative, ist es genau das Gleiche.

Auch der Cosinus und der Sinus von \( x \) sind \( 2\pi \)-periodisch. Das heißt, es gilt: der Cosinus von \( x \) plus ein Vielfaches, also \( k \) mal \( 2\pi \), ist der Cosinus von \( x \). Genau dasselbe gilt für den Sinus, und zwar für alle \( x \) aus \( \mathbb{R} \) und für \( k \) aus den ganzen Zahlen. Also Vielfache von \( 2\pi \). Jawohl, nach einer vollen Umdrehung, also nach \( 2\pi \), sind wir wieder am selben Punkt.

Guckt euch das zur Not nochmal an, wenn ihr das nicht genau wisst. Zweitens, für alle \( x \) aus \( \mathbb{R} \) gilt: Der Cosinus von minus \( x \) ist dasselbe wie der Cosinus von \( x \). Was bedeutet das dann? Haben wir doch gerade irgendwie etwas gemacht? Ja, der Cosinus ist eine gerade Funktion.

Okay, einfach mal darüber nachdenken. Und wir sehen ja auch, wenn wir uns den Graphen angucken, der ist symmetrisch zur y-Achse, achsensymmetrisch. Für alle x aus R gilt: sin(-x) ist dasselbe wie -sin(x). Da war doch was. Ganz genau, der Sinus ist eine ungerade Funktion. Ist also punktsymmetrisch zum Ursprung. Auch hier einfach mal am Einheitskreis überlegen, warum das so ist.

Dann haben wir noch viertens, das taucht total oft auf: Kosinusquadrat x plus Sinusquadrat x. Ein schwieriger Ausdruck, aber das Ergebnis ist 1. Und das folgt direkt aus dem Satz von Pythagoras. Einfach am Einheitskreis. Das haben wir ja schon mehrmals mit dem Winkel Alpha und so weiter betrachtet. Und genau daraus folgt es.

So, fünftens: Der Betrag des Cosinus von x ist immer kleiner oder gleich 1. Das liegt daran, dass die Werte für den Cosinus zwischen -1 und 1 liegen. -1 und 1 sind ebenfalls enthalten. Er schwankt also immer zwischen -1 und 1.

Also ist der Betrag maximal 1. Dasselbe gilt für den Sinus. Auch der Betrag ist kleiner gleich 1. Beim Sinus hat man noch eine schöne Eigenschaft, nämlich, dass der Sinus von x betragsmäßig kleiner gleich dem Betrag von x ist. Das nutzen die Physiker sehr gerne. Das sieht man auch.

Betrag von x. Das nutzen die Physiker sehr gerne. Das sieht man auch, Betrag von x, also x wäre die Winkelhalbierende. Betrag wäre es dann auf der anderen Seite nochmal so. Habt ihr vielleicht schon mal gesehen; haben wir letztens ja auch auf den Tutoriumsblättern gehabt, die Funktion. Und der Sinus ist immer kleiner gleich dieser Funktion Betrag von x. Kann man also dadurch abschätzen, nennt man das. Gut, also sechstens: Wann werden Sinus und Cosinus gleich null?

Also, wo sind die Nullstellen von Sinus und Cosinus? Das Problem ist, dass es unendlich viele gibt, weil sich die Funktionen ja unendlich oft in Abständen von \(2\pi\) wiederholen. Es tauchen also immer wieder Nullstellen auf. Aber wo liegen die Nullstellen genau, beim Sinus und beim Cosinus? Es gilt: Der Cosinus von \(x\) ist genau dann gleich null, wenn \(x\) gleich \(\pm \frac{\pi}{2}\) ist. Schauen wir uns den Graphen gleich noch einmal an, dann sehen wir das. Weiterhin gibt es die Nullstellen bei \(\pm \frac{3\pi}{2}\), \(\pm \frac{5\pi}{2}\) und so weiter.

Die liegen alle pi auseinander. Seht ihr das? Ja, also immer 2 halbe pi auseinander. Was ja 2 halbe, können wir kürzen, das ist also pi. So, das kann man so schreiben: das ist k plus 1 halb mal pi, für k aus ℤ.

Okay? So sieht das aus. Wann ist der Sinus gleich 0? Das ist ein bisschen einfacher. Wir wissen, bei 0 ist er 0, bei π also bei minus π auch, 2π, minus 2π und so weiter und so weiter.

Also, hier ist es einfacher: Das sind alle \( k \cdot \pi \) für \( k \) aus \( \mathbb{Z} \). Die Graphen von Sinus und Cosinus gehen immer so weiter nach links und nach rechts, genau hier. Da sieht man zum Beispiel hier den Cosinus; die Nullstellen sind einmal \(\frac{\pi}{2}\) (Cosinus ist das blaue) und einmal \(-\frac{\pi}{2}\) und dann immer ein \(\pi\) weiter. Genau wie hier. Bei Sinus sind die Nullstellen: Wir starten bei null und dann immer bei \(\pi\), \(2\pi\), und so weiter. Wenn man die Graphen einigermaßen im Kopf hat, braucht man nicht auswendig zu lernen, was der Cosinus von null oder was der Sinus von null ist. Man weiß ja, wie das so aussieht.

Oder man erklärt sich das am Einheitskreis, wie Sinus- und Cosinus-Funktionswerte sind. Gut, auch hier kann man viele Eigenschaften sofort ablesen. Achtens: Sinus- und Cosinus-Funktionen sind abschnittsweise. Gucken wir uns noch einmal an, was könnte man wohl abschnittsweise über den Sinus, die rote Funktion, sagen, zum Beispiel von hier bis hier. Ja, genau.

Streng monoton wachsend. Von hier bis hier, streng monoton wachsend, von hier bis hier streng monoton wachsend, von da bis da streng monoton fallend und dann wieder streng monoton wachsend. Das heißt, wir finden unendlich viele Abschnitte, sowohl bei Sinus als auch bei Kosinus, wo es streng monoton wachsend oder auch streng monoton fallend ist. Also, die Sinusfunktion ist streng monoton wachsend zum Beispiel von minus π/2 bis π/2. Streng monoton fallend zum Beispiel von minus 3π/2 bis minus π/2 und dann wieder bis π/2.

Streng monoton fallend, zum Beispiel von \(-\frac{3\pi}{2}\) bis \(-\frac{\pi}{2}\). Die Cosinus-Funktion ist streng monoton wachsend, zum Beispiel von \(-\pi\) bis \(0\) und von \(\pi\) bis \(2\pi\) und streng monoton fallend, zum Beispiel von \(0\) bis \(\pi\) und von \(2\pi\) bis \(3\pi\). Ihr könnt euch ja nochmal zurückspulen und schauen, wie das aussieht. Achtung: Da die beiden Funktionen \(2\pi\)-periodisch sind, wiederholen sich diese Bereiche bei Verschiebungen um Vielfache von \(2\pi\). Das heißt, versucht doch mal, allgemein anzugeben, in welchen Bereichen die Sinusfunktion oder auch die Cosinusfunktion streng monoton wachsend beziehungsweise streng monoton fallend sind.

Das ist eine gute Übung, da könnt ihr das mal allgemein hinschreiben. Jo, wir rufen uns auch noch einmal, das haben wir ja auch schon im ersten Kapitel einmal kurz gemacht, die Additionstheoreme für Sinus und für Kosinus auf. Bemerkung 162 war das damals. Also für \( x, y \) aus \( \mathbb{R} \) gelten, wie schon in Kapitel 1 angemerkt, die Additionstheoreme. Wir nummerieren die einfach der Reihe nach durch. Wir haben vier Stück insgesamt, also AT1.

Sagt etwas über den Kosinus einer Summe aus. Das ist dasselbe wie Kosinus x, Kosinus y, minus Sinus x, Sinus y. Dann der Kosinus einer Differenz. Das sieht ein bisschen anders aus, der einzige Unterschied ist hier das Zeichen. Deswegen schreibt man so etwas oft auch in einer Formel, aber dann hat man hier plus minus und hier minus plus. Das sieht irgendwie doof aus, deswegen machen wir das einzeln.

Kommt ja nicht durcheinander. So, das zweite Additionstheorem geht über den Sinus, einmal als Summe und einmal als Differenz. Auch hier ist es genau gleich, nur die beiden Zeichen unterscheiden sich. Okay, so. Und wir verzichten hier darauf, man könnte es geometrisch führen, dauert dann sehr lange und bringt einem gar nichts.

Wichtig ist: Die Additionstheoreme sind nicht schön, aber total nützlich. Und wir erhalten dadurch einfach total viele Formeln für Sinus und Cosinus. Geben wir euch gleich auch schon mal einen Vorgeschmack. Es gibt noch viel mehr, aber wir geben euch einen Vorgeschmack und zeigen euch auch jetzt, wie man das dann anwendet, um neue Formeln daraus zu gewinnen. Korrell 222: Aus den Additionstheoremen erhalten wir für \( x \in \mathbb{R} \) und \( k \in \mathbb{Z} \), dass der Sinus von \( x + \frac{\pi}{2} \) dasselbe ist wie der Cosinus von \( x \). Wenn man also mal vom Sinus auf den Cosinus umrechnen will, kann man das tun. Der Sinus von \( x + k \cdot \pi \) taucht auch ab und zu in irgendwelchen Beweisen oder in irgendwelchen Dingen auf, die man benötigt.

Und das kann man geschickter und einfacher schreiben als \((-1)^k \cdot \sin(x)\). Das \(k\) hier drin stört natürlich, aber hier ist es dann einfach nur entweder 1 oder -1 mal \(\sin(x)\). Je nach \(k\) ist es also entweder \(\sin(x)\) oder \(-\sin(x)\). Coole Sache. Zweitens gilt für den Cosinus das Gleiche. Also das hier oben umgeschriebene für den Cosinus sieht so aus. Und jetzt können wir den \(\sin(x)\) wieder so schreiben. Coole Sache.

Ja, das ist eins. Und zweitens, \(\cos(x) + k \cdot \pi\) kann man auch schreiben als \((-1)^k \cdot \cos(x)\). Okay, also eigentlich die Formel, wo kommen die jetzt her? So. Ja, wir schauen uns das mal zusammen an.

Also, erstens wollen wir zeigen, dass \(\sin(x) + \frac{\pi}{2} = \cos(x)\) ist. Wie machen wir das? Wie üblich starten wir einfach links. \(\sin(x) + \frac{\pi}{2}\). Was kann man da machen? Wir haben ja schon gesehen, dass wir aus den Additionstheoremen darauf schließen können.

Das heißt, wir müssen uns anschauen. Wir schauen uns nochmal die Additionstheoreme an. Und wir hatten hier den Sinus von der Summe. Und dann sehen wir ja, was man damit macht. Man macht den Sinus vom Ersten mal den Cosinus vom Zweiten plus den Cosinus vom Ersten mal den Sinus vom Zweiten. Also eigentlich relativ leicht zu merken.

So, dann machen wir das doch mal. Also, wir nutzen dieses AT3. Der Sinus des ersten ist Sinus x mal Cosinus des zweiten plus Cosinus des ersten mal Sinus des zweiten. So, jetzt muss man natürlich wissen, was der Cosinus von Pi halbe ist?

Und was ist der Sinus von π/2? Wenn man sich die Graphen nochmal anguckt, spult jetzt mal nicht mehr zurück, dann sieht man, der Cosinus von π/2 ist 0. Das heißt, mal 0 fällt natürlich der ganze Ausdruck hier vorne weg. Und der Sinus von π/2, der Sinus geht bei 0 so hoch und hat bei π/2 die höchste Stelle, also ist das 1. Also Cosinus x mal 1.

Jetzt gucken wir uns mal an, was dabei herauskommt: 0 plus 1 mal Cosinus, also Cosinus, also Cosinus x. Und das ist genau das, was wir hier herausbekommen haben. Mit den Additionstheoremen, mit AT3, ist das eine ganz einfache Rechnung. Solche Fragen stellen wir übrigens gerne auch mal in der Klausur. Da muss man also einfach nur die Additionstheoreme geschickt einsetzen.

Einfach nur ein bisschen was über Sinus und Cosinus wissen, und schon ist man fertig und bekommt ordentlich Punkte. Das Zweite, was zu zeigen war, war, dass der Sinus von \( x + k \cdot \pi \) gleich \((-1)^k \cdot \sin(x)\) sein soll. Auch da starten wir einfach mal auf der linken Seite. So, wir haben wieder eine Summe beim Sinus, also nutzen wir wieder das Additionstheorem 3. So, das wäre \(\sin(x + k \cdot \pi) = \sin(x) \cdot \cos(k \cdot \pi) + \cos(x) \cdot \sin(k \cdot \pi)\). So, also jetzt habe ich hier schon drunter geschrieben, dass das \((-1)^k\) ist. Das ist ein bisschen schnell, das glaubt mir ja kein Mensch.

Deswegen schauen wir einfach mal, was der Kosinus von 0 mal Pi ist. Wir starten einfach mal mit k gleich 0. Der Kosinus von 0 mal Pi ist ja der Kosinus von 0. Also, wo beginnt der Kosinus bei 0? Ihr habt bestimmt schon jetzt im Kopf, das ist eine 1.

Der Kosinus von 0 ist 1. Also, was haben wir beim Kosinus von 1 mal Pi? Was wäre das? Wenn wir uns das im Graphen angucken, ist das natürlich der Kosinus von Pi. Was kommt dabei heraus?

Wir sehen, es kommt heraus minus 1. Also machen wir noch den Kosinus von 2 mal pi. Der Kosinus von 2 pi ist dann auf einmal wieder 1. Ja, der Kosinus von 3 pi. Wir rechnen das aus und sehen, hey, es ist minus 1.

Offensichtlich wechselt das immer hin und her. Und wir gucken mal, 1 ist ja dasselbe wie minus 1 hoch 0. Minus 1 ist dasselbe wie minus 1 hoch 1. 1 ist wieder dasselbe wie minus 1 hoch, wir sind ja jetzt hier bei 2π, also 2. Und minus 1 ist dasselbe wie minus 1 hoch 3.

Wir sehen also, wenn wir das so weitermachen würden, müssten wir eigentlich jetzt noch per vollständiger Induktion beweisen. Das schenken wir uns natürlich, aber der Kosinus von k mal Pi wäre minus 1 hoch k. Das heißt, hier Kosinus k mal Pi. Hier macht man geschickterweise auch noch eine Klammer drum, dass man weiß, das gehört beides zum Kosinus. Das wäre minus 1 hoch k. Das heißt, wir haben minus 1 durch k mal Sinus x. Das haben wir schon mal. Und hier geht es jetzt weiter. Kosinus x. Okay, was ist der Sinus von, hier machen wir auch am besten Klammern drum.

Was ist der Sinus von k mal pi? Also der Sinus von 0 mal pi. Der Sinus von 0 ist 0. Der Sinus von pi ist 0. Das haben wir alles gerade gesehen.

Bei \( k \cdot \pi \) für \( k \) aus den ganzen Zahlen (\( \mathbb{Z} \)) ist der Sinus immer 0. Das heißt, \( 0 \cdot \cosinus(x) \) ist 0. Das ist alles 0, das heißt, es bleibt nur \( -1^k \cdot \sinus(x) \) übrig. Wir machen jetzt mal alles weg. So, alles weg. Und dann haben wir also \( \sinus(x) \cdot (-1)^k + \cosinus(x) \cdot 0 \). Das schreiben wir noch geschickt da oben, dann steht da \( -1^k \cdot \sinus(x) \).

Und damit haben wir das auch gezeigt. Die anderen beiden gehen relativ gleich. Überraschend ist hier, dass auf einmal noch etwas anderes auftaucht. Probiert das einfach mal aus. Wir werden euch das in den Übungen zeigen. Satz 223.

Weitere nützliche Ausdrücke. Für \( x, y \) aus \( \mathbb{R} \) gelten. Jetzt machen wir das alles mal auf. Der Cosinus von \( x \) plus der Cosinus von \( y \) kann man auch so schreiben. Das sieht jetzt nicht unbedingt einfacher aus, ganz im Gegenteil, aber wir müssen so eine Gleichung ja immer auch von rechts nach links lesen.

Das heißt, wenn wir so etwas haben, das total schwierig aussieht, dann können wir das einfach so schreiben: Cosinus x minus Cosinus y geht ähnlich. Man kann auch den Sinus eher auf dieser Seite sehen; von da nach da können wir das erheblich vereinfachen. Ähnliches gibt es für den Sinus. Man kann es so schreiben. Eine Differenz kann man so darstellen.

Manchmal hat das auch Vorteile. Wenn man von links nach rechts schaut, hat das ebenfalls Vorteile. Denn hier haben wir eine Differenz, wenn man an Nullstellen denkt. Hier haben wir jetzt mal: Wann wird das hier gleich null und wann wird das hier gleich null? Das kann man hier viel einfacher sagen.

Denn man muss nur gucken, wann das gleich 0 wird oder wann das gleich 0 ist. Und schon hat man die Nullstellen, weil das ja gleich 0 wird, wenn einer der beiden gleich 0 ist. Bei einer Differenz ist das viel schwieriger, da müssen die beiden gleich sein. Das kriegt man natürlich auch raus. 1 plus cosinus x ist gleich 2 mal cosinus Quadrat x halbe.

Das sind ganz erstaunliche Sachen, die man auf den ersten Blick erstmal so gar nicht glaubt. 1 minus Cosinus x ist 2 Sinus Quadrat x halbe. Sinus 2x ist 2 Sinus x Cosinus x. Wenn man also 2 mal Sinus x mal Cosinus x hat, kann man das sofort als Sinus 2x schreiben. Cool, oder? Cosinus 2x ist Cosinus Quadrat x minus Sinus Quadrat x oder auch 2 Cosinus Quadrat x minus 1 oder auch 1 minus 2 Sinus Quadrat x.

Also, es gibt unendlich viele Formeln, die wir alle nur durch Nutzung der Additionstheoreme herauskriegen. Und durch die Sachen, die wir schon von Sinus und Kosinus wissen, auch den trigonometrischen Pythagoras und sowas. Jawohl, ich mache die alle nochmal auf. Also, diese ganzen Sachen werden wir auch alle in den Übungen beweisen, beziehungsweise ich mache ein bisschen was, Max macht gleich auch noch ein bisschen, aber im Endeffekt geht es darum, dass ihr selbst euch mit den Tricks auseinandersetzt. Man braucht hierfür dieses hier zum Beispiel, oder für das oder das brauchen wir so einen kleinen Trick. Den sagen wir euch jetzt und dann könnt ihr das eigentlich auch selbst machen. Und das wollen wir auch von euch.

Also, wir schauen uns das an. Beweis zu Zweitens. Wir sehen uns hier beispielhaft an: \(\sin(x) + \sin(y) = 2 \sin\left(\frac{x + y}{2}\right) \cos\left(\frac{x - y}{2}\right)\). Das wollen wir jetzt zeigen, dass das funktioniert.

Gilt. Also, dafür brauchen wir, wie gerade schon angekündigt, einen kleinen Trick. Wenn man den einmal weiß, dann nutzt man den und dann kriegt man das auch hin. Wenn man den nicht weiß, dann hat man Pech gehabt. So ist das immer mit Tricks.

Den müsst ihr euch also merken. Wir müssen ja irgendwie von diesem hier auf \( x + \frac{y}{2} \) kommen. Bei diesen Additionstheoremen haben wir immer irgendwie eine Summe drin stehen oder eine Differenz. Wir haben nicht \(\sin(x)\), sondern \(\sin(x + \text{irgendwas})\). Das heißt, wir spalten das \( x \) jetzt mal auf in eine Summe von zwei Termen.

So, wir schreiben also \( x \) bzw. \( y \) dann auch einfach um als eine Summe. \( x \), das ist jetzt der Trick, \( x \) ist dasselbe wie das. Und \( y \) ist dasselbe wie das. Auf den ersten Blick sieht das nicht so aus, als würde hier jetzt \( x \) herauskommen.

Wenn man das aber mal auf einen Nenner schreibt, haben wir schon jeweils als Zweiter, dann haben wir \( x + y + x - y \). Das heißt, \( y \) hebt sich schon mal raus und wir haben \( \frac{2x}{2} \), also \( x \). Hier kommt das gleiche heraus: \( y \). Das ist der Trick, und wenn wir das jetzt einfach mal nachrechnen, nochmal, wenn wir das jetzt machen mit den Additionstheoremen und das \( x \) dann schreiben als diesen Ausdruck hier, dann können wir die Additionstheoreme darauf anwenden. Also, der erste Ausdruck, der Sinus von \( x \). Wir schreiben \( \sin(x) \) jetzt mal um als Sinus von diesem Ausdruck. Wir wissen ja, das ist dasselbe wie \( x \), also gilt die Gleichheit. Jetzt können wir nämlich wieder Additionstheorem 3 nehmen, was ja die Summen beim Sinus beinhaltet.

Und dann wissen wir ja schon, das ist Sinus mal das erste Mal Cosinus von dem zweiten plus Cosinus von dem ersten Mal Sinus von dem ersten Mal Sinus von dem zweiten. Schreiben wir einfach mal hin. Nur das Additionstheorem, das wäre dann quasi unser x und das wäre unser y aus dem Additionstheorem. So, was haben wir jetzt? Das ist das Erste. Damit sind wir jetzt schon fertig.

Jetzt schauen wir uns noch den Sinus von y an. Und danach addieren wir die beiden. Dann werden wir sehen, dass sich genau schnell Sachen herauskürzen, und dann haben wir genau das Ergebnis. Also schauen wir uns das an. Dasselbe für den Sinus von y. Da müssen wir gleich noch einen Schritt mehr machen. Okay, Sinus von y, einfach hier das, was wir uns gerade überlegt haben, da kommt das y heraus.

Dann wieder Additionstheorie im 3. Sinus von dem ersten mal Cosinus von dem zweiten plus Cosinus von dem ersten mal Sinus von dem zweiten. Zack, zack, zack. Das sieht jetzt ein bisschen anders aus, als wir das brauchen, denn gerade bei Sinus(x) hatten wir alles mit x minus y. Das wollen wir jetzt wieder haben, mit x minus y und x plus y. Hier haben wir y plus x, das ist kein Problem, das können wir als x plus y schreiben. Aber das hier, okay, das ist noch nicht ganz das, was wir brauchen.

Also nutzen wir noch die Eigenschaften von Sinus, der ja ungerade ist, und Cosinus, der ja eine gerade Funktion ist. Wenn man das verwendet, kann man diesen Ausdruck so schreiben. Das hat zwar nichts damit zu tun, aber jetzt können wir das einfach andersherum schreiben. Hier haben wir jetzt ein Minuszeichen, das lassen wir so, wir ändern nur oben die Reihenfolge und drehen es wieder um. Was haben wir jetzt genau gemacht? Erstens, im ersten Term haben wir beim Cosinus statt \(y - x\) hier \(x - y\) geschrieben.

Das können wir natürlich nicht so einfach machen, denn wir hängen y minus x und y mal x minus y zusammen. Ja, y minus x ist dasselbe wie minus x minus y. Ja, so. Aber der Kosinus ist gerade, und der Kosinus von minus x minus y, also von dem hier, ist genau dasselbe wie der Kosinus von x minus y, also ohne das Minus. Man könnte das Minuszeichen also weglassen, weil der Kosinus eine gerade Funktion ist. Das haben wir dann gemacht, dann sind wir also hier.

So, beim zweiten Term hier, im zweiten Term haben wir ebenfalls, diesmal beim Sinus, wir hatten ja vorher y minus x, jetzt haben wir x minus y. Das haben wir gemacht, weil der Sinus eine ungerade Funktion ist. Wir wissen ja schon, aber was ist mit dem Minus hier? Das verschwindet ja beim Sinus dann nicht. Sinus von dem ist dasselbe wie minus Sinus von dem. Und das Minus haben wir hier vorne hingezogen. Das ist ja mal genommen, das können wir auch nach vorne ziehen.

Also, wir haben statt y minus x, x minus y geschrieben. Hier bleibt, da der Sinus ungerade ist, das Minuszeichen über. Und das haben wir dann vor den zweiten Term gesetzt. Statt Plus haben wir jetzt hier ein Minus. Gut, so, und jetzt haben wir Sinus y.

Und jetzt sieht man schon, gerade hatten wir Sinus x, da tauchte dieser Term auf und plus und dann wieder dieser Term. Und beim Sinus y haben wir den ersten Term genauso und den zweiten mit Minus. Wenn wir die beiden jetzt also addieren, was wir ja wollen, Sinus x plus y, Sinus x plus Sinus y, dann heben sich der hintere Term hier und von dem ersten heben sich komplett weg. Einmal plus, einmal minus, ist null, können wir weglassen. Vorne war dasselbe, also ist das 2 mal den vorderen Term.

Und das ist genau das, was wir zeigen wollten. Also sind wir damit fertig. Max rechnet euch jetzt noch ein paar von den anderen vor, und den Rest müsst ihr dann selber in den Übungen machen. Also bis gleich. So, dann schauen wir uns noch einmal ein paar Gleiche an, in denen Sinus und Kosinus vorkommen.

Wir starten direkt mit der ersten Aufgabe. Wir sollen mit Hilfe der Additionstheoreme zeigen, dass gilt: Der Kosinus von x minus der Kosinus von y ist gleich minus 2 mal den Sinus von (x plus y halbe) mal den Sinus von (x minus y halbe). Was wir jetzt machen wollen, ist, die linke Seite umzuformen, die Additionstheoreme anzuwenden und dann auf die rechte Seite zu gelangen. Eine ähnliche Aufgabe hattet ihr gerade schon in der Vorlesung gesehen. Der erste Schritt ist natürlich, dass links hier x und y im Argument stehen, aber rechts x plus y halbe bzw.

X minus y halbe. Das heißt, wir benutzen wieder diesen Trick und stellen x und y etwas anders dar, um mit dieser anderen Darstellung dann die Additionstheoreme benutzen zu können. Also, wir wissen ja schon, wo wir hinwollen ungefähr. Das heißt, im Argument soll so etwas stehen wie x plus y halbe oder x minus y halbe. Das bedeutet, x stellen wir also dar als x plus y halbe plus x minus y halbe.

Wenn ihr das jetzt mal ausrechnet, müsst ihr ja nur die Zähler verrechnen, dann steht da 2x durch 2. Das ist x. Also stimmt diese Gleichheit. y kann man natürlich nicht so darstellen. Da muss man hier ein bisschen was an den Vorzeichen ändern. y schreiben wir als y plus x halbe plus y minus x halbe.

Hier wieder das Gleiche. Die Nenner sind gleich, die Zähler können verrechnet werden. Das bedeutet, da kommt dann wieder 2y durch 2 raus und das ist y. Also stimmt auch diese Gleichheit. So, diese Darstellung von x und y setzen wir jetzt hier auf die linke Seite ein und werden dann jeweils auf den ersten Kosinus und den zweiten Kosinus das erste Additionstheorem anwenden.

Also, starten wir mal. Wir betrachten zuerst den Kosinus von x und dann im Anschluss den Kosinus von y, und dann fassen wir das alles zusammen. Den Kosinus von x kann ich ja jetzt auch schreiben als den Kosinus von diesem Ausdruck. So, und jetzt kann ich hier drauf, weil ich ja jetzt hier im Argument eine Addition habe, das erste Additionstheorem anwenden. Das besagt, dass dies dann nichts anderes ist als der Kosinus von dem ersten Summanden, also (x + y)/2, mal den Kosinus vom zweiten Summanden, minus den Sinus von dem ersten Summanden, mal den Sinus von dem zweiten Summanden. So, mehr können wir jetzt hier auch erst einmal nicht machen.

Das heißt, es ist schon mal gut, wir haben den Cosinus von x so dargestellt. Und wenn man sich das hier oben anguckt, dann hat man ja schon ungefähr, naja, hier fehlt irgendwie noch die minus 2, und Cosinus mal diesen Cosinus, das muss irgendwie wegfallen gleich. Okay, dann schauen wir uns hier oben noch den Cosinus von y an. Habe ich schon mal hingeschrieben. Jetzt ersetzen wir das Argument des Cosinus, also das y, durch diese Darstellung, die wir gerade hingeschrieben haben.

Und dann können wir dieses gleiche Zeichen hier auch schreiben. So, nun wenden wir wieder das erste Additionstheorem darauf an. Das heißt, es gilt: Das ist nichts anderes als der Cosinus von dem ersten Summanden mal Cosinus von dem zweiten Summanden, minus Sinus von dem ersten Summanden mal Sinus von dem zweiten Summanden. So, wie war nochmal die Aufgabe?

Wir sollen zeigen, dass der Kosinus von \( x \) minus den Kosinus von \( y \) gleich irgendetwas ist, aber ohne den Kosinus. Und was würden wir jetzt eigentlich rechnen? Ja, eigentlich diesen Ausdruck. Minus den Kosinus von \( y \) ist gleich irgendetwas, aber ohne den Kosinus. Und was würden wir jetzt eigentlich rechnen?

Ja, eigentlich diesen Ausdruck minus diesen Ausdruck. Und wir sehen, der Cosinus muss also wegfallen. Und das, was hier hinten steht, muss auch übereinstimmen, damit wir quasi minus das, minus das haben, und dann haben wir eben minus zweimal das sozusagen. Okay, aber man sieht, das hier stimmt aber noch nicht mit dem überein und das hier stimmt nicht mit dem überein. Das heißt, wir können das gar nicht so leicht verrechnen.

Aber schauen wir uns mal hier zunächst diesen Kosinus an. Was man jetzt hier machen kann, ist, man kann im Argument eine -1 ausklammern. Dann erhalten wir das. Und das Gute ist, der Kosinus ist eine gerade Funktion. Das heißt, den Faktor -1 kann man einfach weglassen.

Das heißt, wir können einfach weglassen, und es bleibt nur noch das übrig. Das ist das Coole an geraden Funktionen, dass man sozusagen den Faktor minus 1, wenn man den im Argument ausgeklammert hat, einfach weglassen kann. Und es ist immer noch gleich. Und dann stimmt das hier überein. Das ist schon mal gut, aber hier hinten noch nicht. Und jetzt kommt das Besondere vom Sinus.

Der Sinus ist eine ungerade Funktion. Das heißt, wenn ich im Argument eine Minus 1 ausklammere, dann kann ich die nicht einfach weglassen wie bei geraden Funktionen, aber ich kann den Faktor Minus 1 quasi vor die Funktion schreiben. Also ich kann schreiben minus, also quasi minus 1 mal, das lassen wir mal weg, einfach minus, Sinus von dem Argument ohne den negativen, also ohne Minus 1. So, und dann habe ich das hier auch gleich. Und dieses Minus hier und dieses Minus wird dann eben zu Plus.

Das schreiben wir mal auf. Also es gilt, da der Cosinus eine gerade Funktion ist und der Sinus eine ungerade Funktion ist, gilt dann einfach: okay, okay, das schreiben wir ab. Ja, hier drin ändert sich das Vorzeichen einfach im C-Land. Das heißt, wir schreiben hier x - y hin. Die Begründung habe ich gerade ausführlich dahin geschrieben. So, und jetzt nicht mehr minus, sondern minus, und das Minus, das hier entsteht, wenn ich das ausklammere und davor ziehe, wird also zu plus.

Das schreiben wir ab. Und hier hinten können wir dann schreiben: Sinus von (x - y) halbe. Weil ich, das habe ich ja gerade, die Begründung habe ich gerade hingeschrieben. So. Und jetzt kann man anfangen, das zusammenzufassen.

Insgesamt gilt dann also: Was war die linke Seite der Gleichung? Das war \(\cos x - \cos y\). Das ersetzen wir jetzt hier durch, beziehungsweise hier durch. Also einfach abschreiben. Das lasse ich jetzt also mal schneller durchlaufen. Das ist also jetzt \(\cos x - [\text{da wir ganz viele Runden haben, machen wir mal eine eckige}] \).

Und jetzt minus Cosinus y, also schreiben wir das einmal in diese Klammer. So. Und jetzt sieht man hoffentlich, dass einiges wegfällt. Und zwar, hier steht ja quasi Cosinus von x plus y Halbe mal Cosinus von x minus y Halbe und das steht hier auch. Genau dasselbe.

Aber hier steht Minus, das heißt, das Minus. Das Gleiche ergibt natürlich Null, das heißt, der Kosinus fällt weg und hier steht Minus Sinus von x plus y-halbe mal Sinus von x minus y-halbe minus, ja minus das Gleiche. Das ist also Minus 2 mal eben diesen Ausdruck, lese ich jetzt nicht nochmal vor. Insgesamt erhalten wir also Minus 2 mal diese Sinus-Ausdrücke hier und das ist genau das, was wir zeigen sollten. Die Aufgabe war, x und y anders darzustellen, sodass man ungefähr schon die Form der rechten Seite hat. Und dann benutzt man, dass der Kosinus eine gerade Funktion ist und der Sinus eine ungerade Funktion ist. Und dann kann man am Ende die Darstellung zusammenfassen und dann kürzt sich da einiges weg. In der zweiten Aufgabe müssen wir drei Gleichheiten zeigen, gekennzeichnet mit a, b und c. Und das Coole an der Aufgabe ist, dass man scheinbar hier vier Ausdrücke hat, die schon sehr unterschiedlich aussehen. Also finde ich zumindest, aber alle vier sind gleich. Das heißt, wenn ihr irgendwann mal Kosinus von 2x rausbekommt und jemand anderes zum Beispiel 1-2 mal Sinus Quadrat x, dann sieht das erstmal so aus, als ob einer von euch einen Fehler gemacht hätte, aber in Wirklichkeit stimmt das Ergebnis überein.

Okay, wir starten direkt hier mit der Gleichheit, die mit a gekennzeichnet ist. Die wollen wir zeigen. Und zwar benutzen wir wieder das erste Additionstheorem und wenden das auf die linke Seite an. Noch geht es nicht, aber wir werden gleich zeigen, was man hier macht. Denn für das Additionstheorem braucht man im Argument eine Summe.

Das heißt, man schreibt \( 2x \) als \( x + x \). Und jetzt wendet man das erste Additionstheorem darauf an. Das bedeutet, hier ergibt sich der Kosinus des ersten Summanden, also von \( x \), multipliziert mit dem Kosinus des zweiten Summanden, also wieder von \( x \), minus der Sinus des ersten Summanden, also \( x \), multipliziert mit dem Sinus des zweiten Summanden, also wieder \( x \). Ja, und ihr seht, der Kosinus von \( x \) mal der Kosinus von \( x \) ist der Kosinusquadrat von \( x \), minus der Sinus von \( x \) mal der Sinus von \( x \), das ist minus der Sinusquadrat von \( x \). Das heißt, die erste Gleichheit haben wir gezeigt. So, dann kommen wir zur zweiten Gleichheit, die hier mit \( b \) gekennzeichnet ist. Wir starten hier mit der linken Seite.

Und dann benutzen wir den trigonometrischen Pythagoras, um hier auf die rechte Seite dieser Gleichung zu kommen. Schauen wir uns das mal an. Also, wir schreiben die linke Seite hin: Cosinusquadrat x minus Sinusquadrat x. Und jetzt gilt ja der trigonometrische Pythagoras. Es gilt Sinusquadrat x plus Cosinusquadrat x ist für alle x aus R gleich 1.

Und jetzt kann ich diese Gleichung einfach nach Sinusquadrat x umformen. Dann steht hier Sinusquadrat x gleich, rechne auf beiden Seiten, also minus Cosinusquadrat x, dann steht hier 1 minus Cosinusquadrat x. Das heißt, ich ersetze hier Sinusquadrat x durch 1 minus Cosinusquadrat x. Und dann bin ich auch quasi schon fertig. Sinusquadrat x ist gleich 1 minus Cosinusquadrat x. Ersetzen wir das einmal hier, nicht vergessen, Klammer auf und dann den Ausdruck. Ja, und jetzt lösen wir die Klammern auf. Dann steht hier Cosinusquadrat x minus minus, also plus Cosinusquadrat x. Das ist zweimal Cosinusquadrat x minus 1.

Und damit haben wir auch die Gleichheit, die mit b gekennzeichnet ist, gezeigt. So, dann kommen wir zu der Gleichung, die mit c gekennzeichnet wurde. Die wollen wir nicht sofort beweisen, sondern wir machen einen kleinen Umweg. Und zwar wollen wir zunächst zeigen, dass der Kosinus Quadrat von x minus Sinus Quadrat von x gleich der rechten Seite dieser Gleichung ist, also 1 minus 2 mal Sinus² von x. Dafür benutzen wir wieder den trigonometrischen Pythagoras und formen quasi diesen nicht nach Sinus²x um, sondern nach Kosinus²x.

Ich möchte das gleich noch einmal machen. Also wieder das hier. So, und jetzt schauen wir uns noch einmal den trigonometrischen Pythagoras an: gleich 1 für alle \( x \) aus \( \mathbb{R} \). Das forme ich jetzt nicht nach Sinusquadrat \( x \) um, wie gerade, sondern nach Kosinusquadrat \( x \). Das heißt, hier steht Kosinusquadrat \( x \) ist gleich 1 minus Sinusquadrat \( x \). Und 1 minus Sinusquadrat \( x \) ersetze ich jetzt hier durch Kosinusquadrat \( x \). Also schreiben wir das nochmal über das gleiche Zeichen, was wir jetzt also machen.

Und dann ersetzen wir \(\cos^2 x\) eben hier durch. Und da sieht man \(1 - \sin^2 x - \sin^2 x\), das kann man zusammenfassen zu \(1 - 2 \cdot \sin^2 x\). So, jetzt haben wir die Gleichheit, die mit \(c\) gekennzeichnet wurde, noch nicht gezeigt. Aber schauen wir uns das mal an. Es gilt scheinbar \(\cos^2 x - \sin^2 x = 2 \cdot \cos^2 x - 1\).

Und es gilt: Ja, der Kosinusquadrat von x minus der Sinusquadrat von x ist gleich 1 minus 2 mal den Sinusquadrat von x. Das bedeutet, da die linke Seite hier jeweils gleich ist, müssen die rechten Seiten also auch gleich sein. Es gilt dann also, dass diese rechte Seite gleich dieser rechten Seite ist. Und das war genau die Gleichheit, die mit c gekennzeichnet wurde. Also schreiben wir auf, dass mit b gilt: 2 mal der Kosinusquadrat von x minus 1 ist gleich 1 minus 2 mal den Sinusquadrat von x. Also genau das, was wir zeigen sollten. So, wir haben noch eine Kleinigkeit zu tun, denn wir sehen uns jetzt noch den Tangens an.

Definition 224: Die Tangensfunktion wird definiert als Quotient von Sinus und Cosinus. Also geht der Tangens von ℝ ohne k plus 1/2 mal π, k aus ℤ, nach ℝ. Lassen Sie uns gleich ansehen, warum das so ist. Der Tangens von x wird definiert als Sinus x durch Cosinus x. So definieren wir das. Hinweis: Der merkwürdige Definitionsbereich, also ℝ ohne diese spezielle Menge hier, hängt natürlich damit zusammen. Habt ihr euch ja schon gedacht, wir dürfen ja nicht durch Null teilen.

Also alles, wo der Cosinus null wird, müssen wir rausnehmen. Und das hatten wir ja letztens schon überlegt. Das ist genau diese Menge. Okay, also liegt natürlich daran, dass der Nenner, also der Cosinus, nicht null werden darf hier. Jawohl.

Korollar 2,25. Der Tangens: Also, wir wollen noch ein paar Eigenschaften des Tangens betrachten. Der Tangens ist nicht \(2\pi\)-periodisch, sondern \(\pi\)-periodisch. Das können wir uns kurz überlegen, warum das so ist. Denn für \(k\) aus \(\mathbb{Z}\) und \(x\) aus \(D\), also aus dem Definitionsbereich, gilt: \(\tan(x + k\pi)\).

Nach Definition wäre das der Sinus von \( x + k \cdot \pi \) durch den Kosinus von \( x + k \cdot \pi \), und wir haben ja vorhin für den Sinus von \( x + k \cdot \pi \) und den Kosinus von \( x + k \cdot \pi \) schon Ergebnisse gehabt. Das war nämlich oben mit \( 2,22 \), genau, \( (-1)^k \cdot \sin(x) \) und unten war das \( (-1)^k \cdot \cos(x) \). Da können wir natürlich \( (-1)^k \) einfach kürzen, und wir haben dann \( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \), und das ist genau so definiert wie der Tangens von \( x \). Also ist der Tangens von \( x + k \cdot \pi \), also \( x + \) ein Vielfaches von \( \pi \), nicht wie bei Sinus und Kosinus, ein Vielfaches von \( 2\pi \), sondern von \( \pi \), wieder der Tangens von \( x \). Haben wir das damit dann auch direkt bewiesen. Zweitens, der Tangens ist eine ungerade Funktion. Hätte man sich auch denken können: Der Sinus ist ungerade, der Kosinus ist gerade, und der Sinus durch den Kosinus ergibt eine ungerade Funktion.

So, müssen wir auch mal kurz nachweisen, denn wir müssen also herausfinden, dass der Tangens von minus x gleich minus Tangens von x ist. Also, Tangens von minus x: Wir setzen das einfach in die Definition ein, das ist Sinus durch Kosinus von diesem minus x. Beim Kosinus können wir das Minus weglassen. Beim Sinus ziehen wir das Minus heraus. Also minus Sinus x durch minus Kosinus x, somit ergibt sich auch minus Tangens von x. Tangens von minus x ist gleich minus Tangens von x. Damit haben wir gezeigt, dass der Tangens eine ungerade Funktion ist. Drittens schauen wir uns den Graphen der Tangensfunktion an.

Da sieht man auch, dass der Pi periodisch ist. Er geht immer von minus unendlich bis plus unendlich und läuft immer durch Vielfache von Pi. Sehen wir also auch schon die Nullstellen. Es ist auch klar, dass die Nullstellen da sind, denn der Sinus ist hier oben und der Sinus wird dann bei Vielfachen von Pi null. Jawohl.

Viertens, spezielle Werte. Schauen wir uns mal an. Also der Tangens von 0 ist 0. Der Tangens von π/6 ist √3/3. Man kann das auch umformulieren.

Wurzel aus π/4, äh, Wurzel. Der Tangens aus π/4 ist 1, der Tangens aus π/3 ist die Wurzel aus 3, und der Tangens aus π/2 ist nicht definiert. Das ist halt so. Das sind genau die Ränder davon. Da ist kein Tangens definiert.

Warum nicht? Haben wir ja gerade gesagt, weil da der Cosinus 0 wird. Dürfen wir nicht einsetzen. Okay, und damit sind wir dann auch am Ende für heute. Wir sagen danke für eure Aufmerksamkeit und wir sehen uns wieder zur nächsten Vorlesung.

Bis dahin, ciao. Danke.