VL 11: Monotonie und trigonometrische Funktionen - TU Dortmund Höhere Mathematik I (BCI/BW/MLW)

Einen wunderschönen guten Morgen und herzlich willkommen zurück zur Vorlesung "Höhere Mathematik 1" für BCI, BW und MLW. Wir sind in Vorlesung 11 angekommen und sprechen weiter über reelle Funktionen. Also, Definition 2.14: Sei \( I \) eine Teilmenge von \( \mathbb{R} \). Für \( f : I \rightarrow \mathbb{R} \) wird der Graph von \( f \) als \( G_f \) definiert. Das ist die Menge aller Punkte \( (x, f(x)) \), für die gilt: \( x \in I \). Das ist natürlich eine Teilmenge von \( \mathbb{R}^2 \). Der Graph einer Funktion \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) ist also eine Teilmenge von \( \mathbb{R}^2 \).

Wie sieht es aus bei einer Funktion g, die von ℝ² nach ℝ geht? Das werden wir uns im nächsten Semester anschauen, wie sowas eigentlich aussieht. Das ist natürlich der Graph, dann der Teilmenge von ℝ³. Tatsächlich addieren sich hier die Dimensionen. 2 plus 1 ist dann 3.

Und wenn man jetzt aus dem ℝ³ nach ℝ abbildet, dann wäre der Graph eine Teilmenge des ℝ³. Das können wir uns aber noch nicht einmal mehr bildlich vorstellen, wie das dann aussehen soll. Es gibt da bestimmte Theorien, bei ℝ⁴ funktioniert die vierte Dimension, aber dann kann man ja auch weitermachen. Von ℝ auf 4 nach ℝ haben wir dann ℝ auf 5 und so weiter. Okay, also sehen wir uns natürlich hauptsächlich Funktionen jetzt von ℝ nach ℝ an.

Beispiele für Graphen: Ihr alle kennt den Graphen von zum Beispiel \( f(x) = 2x + 3 \) aus der Schule. Das ist natürlich eine sogenannte Gerade. Wenn man noch ein bisschen genauer ist, weiß man: Die Zahl vor dem \( x \) hier ist die Steigung der Geraden, also hat sie die Steigung 2. Und diese Zahl hier hinten ohne \( x \), mit dem Vorzeichen davor, ist der y-Achsenabschnitt. Also, wo schneidet die Gerade die y-Achse? Warum? Ja, wenn man einfach \( x = 0 \) einsetzt, das ist ja die y-Achse, dann schneidet sie das bei 3.

So, also, den Graphen der Funktion f von x, x gleich x². Wie heißt das Gebilde nochmal? Könnt ihr euch daran erinnern? Ganz genau, eine Parabel. Wir werden im Laufe des Semesters und auch im nächsten Semester noch viele neue Graphen kennenlernen.

Wartet mal ab. Gut, Definition 2.16. 1. Sei \( I \) eine Teilmenge von \( \mathbb{R} \). Eine Funktion \( f \) von \( I \) nach \( \mathbb{R} \) heißt monoton wachsend, falls für beliebige \( x_1, x_2 \) aus der Menge \( I \) gilt: \( x_1 < x_2 \), daraus folgt \( f(x_1) \leq f(x_2) \). Wenn das hier gilt, dann nennt man das monoton wachsend.

Monoton fallend, falls für beliebige x₁, x₂ aus I gilt: x₁ < x₂. Daraus folgt: f(x₁) ≥ f(x₂). Die Definition der monotonen Fall ist 2,16 weiter. Zweitens gilt in 1 sogar ein echtes Ungleichheitszeichen. So nennen wir die Monotonie streng. Schreiben wir es einfach nochmal komplett auf.

Eine Funktion \( f \) von \( I \) nach \( \mathbb{R} \) heißt streng monoton wachsend, falls für beliebige \( x_1, x_2 \) aus \( I \) gilt: \( x_1 < x_2 \) und daraus folgt \( f(x_1) < f(x_2) \). Eine Funktion heißt streng monoton fallend, wenn analog \( x_1 < x_2 \) und daraus folgt \( f(x_1) > f(x_2) \). Hinweis: Für den Begriff "monoton wachsend" wird auch manchmal der Begriff "monoton steigend" verwendet, was also völlig gleichbedeutend ist. Schauen wir uns das nochmal an, was wir gerade gesagt haben: Eine Funktion \( f \) heißt streng monoton wachsend, falls für beliebige \( x_1, x_2 \) aus \( I \) gilt: \( x_1 < x_2 \) und daraus folgt \( f(x_1) < f(x_2) \).

Wir schauen uns das mal am Beispiel an. Betrachten wir den Graphen der Funktion f von x gleich x hoch 3. Was bedeutet das hier? Was machen wir? x1 kleiner x2 bedeutet, wir gehen einfach hier auf der x-Achse von links nach rechts.

Auf der reellen Achse gehen wir quasi von links nach rechts. Dabei werden die \( x \)-Werte immer größer. Daraus folgt, dass auch unsere Funktionswerte immer größer werden. Man nennt das streng monoton wachsend. Wir gehen von links nach rechts; das sieht man nicht so gut. Wir starten mal hier bei minus 1 oder so.

Da sind wir hier. Wir gehen jetzt immer weiter, dann sieht man, dass die Funktionswerte immer größer werden. Je weiter wir nach rechts gehen, desto größer werden sie. Es sieht hier so ein bisschen so aus, als würden sie gleich bleiben, aber nein. Sie nähern sich immer mehr der Null, erreichen irgendwann die Null und gehen dann weiter. An keiner Stelle bleibt es gleich, sondern es wird immer weiter, immer größer.

Und dann nennt man das streng monoton wachsend. Es gibt Funktionen, bei denen das tatsächlich so ist: Das geht dann so hoch und bleibt dann eine Zeit lang auf demselben Funktionswert, bevor es weitergeht. Das wäre dann nicht mehr streng monoton wachsend. Wenn das auch nur einmal passiert, also zweimal derselbe Funktionswert vorkommt und es dann erst höher geht, dann wäre es nicht mehr streng monoton wachsend, sondern monoton wachsend. Dann wäre hier an der Stelle nämlich ein „kleiner gleich“ vorhanden. Dann wäre es erlaubt, dass es auch gleich bleiben kann.

Für einen Funktionswert, zwei, unendlich viele, ganz egal. Das nennt sich dann eben nicht mehr strenge Monotonität, sondern monoton wachsen. Bei strenger Monotonie darf das eben nie passieren. Immer wenn man etwas nach rechts geht, und sei es auch nur ein ganz minimales Stück, wird der Funktionswert größer. Ich hoffe, das war einigermaßen verständlich, mein Gelaber jetzt hier.

Und wir wollen mal, wir sehen ja schon, Max ist schon in den Startlöchern. Der erzählt euch noch einmal etwas über Monotonie im Allgemeinen und auch über strenge Monotonie. Bis später dann. In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Monotonie bzw. mit der strengen Monotonie von Funktionen. In der ersten Aufgabe betrachten wir die Funktion f, die von ℝ nach ℝ bildet, mit f von x gleich 3x plus 5 und sollen zeigen, dass diese im strengen monoton wachsenden Bereich auf ihrem Definitionsbereich ist, also auf ganz ℝ. Denn das stimmt hier überein.

Umgangssprachlich müssen wir jetzt quasi zeigen: Je größer meine x-Werte werden, desto größer werden auch die Funktionswerte an den zu betrachtenden x-Werten. Also nehmen wir uns zwei beliebige Werte aus der betrachteten Menge, x1 und x2. Und wenn jetzt x1 kleiner ist als x2, dann muss auch folgen, dass f von x1 kleiner ist als f von x2. Also dass dieses Ungleichheitszeichen hier übereinstimmt. Je größer meine x-Werte werden, also x2 größer als x1, desto größer werden auch die Funktionswerte an diesen x-Werten, also f von x2 größer als f von x1.

Und das muss dann quasi für jedes beliebige Element aus der zu betrachtenden Menge, in diesem Fall ℝ, gelten. Dann ist die Funktion streng monoton wachsend auf eben dieser Menge. So steht hier rechts auf der rechten Seite ein echtes Ungleichungszeichen, dann ist es streng monoton. Steht hier aber nur sozusagen „kleiner gleich“, dann ist es nur monoton wachsend. Jetzt gibt es natürlich Monotonie, steht hier aber nur „kleiner gleich“. Dann ist es nur monoton wachsend.

Jetzt gibt es natürlich auch monoton fallend. Für die erste Aufgabe ist das nicht wichtig, für später jedoch schon. Dort heißt es, wenn x1 kleiner ist als x2, dann muss daraus folgen, dass f von x1 echt größer ist als f von x2. Das bedeutet, je größer meine x-Werte werden, desto kleiner werden die Funktionswerte an den entsprechenden Stellen. Und hier ist auch wieder das Ungleichheitszeichen so, dass es streng monoton fallend ist.

Habe ich hier drunter noch diesen Strich, dann ist es also streng monoton fallend. Habe ich hier drunter noch diesen Strich, dann ist es nur monoton fallend. Okay, wir sollen hier aber stehen, rengen, hundert und wachsen zeigen. Das bedeutet, wir fangen mal an. Wir zeigen das jetzt also mathematisch und nicht irgendwie grafisch. Seien \( x_1 \) und \( x_2 \) aus \( \mathbb{R} \), also der betrachteten Menge, die stimmt jetzt hier mit dem Definitionsbereich überein. Mit \( x_1 < x_2 \) muss ich jetzt zeigen, dass \( f(x_1) < f(x_2) \). Also gilt, wir betrachten jetzt mal \( f(x_1) \).

Das ist ja 3 mal x₁² plus 5. Die Plus 5 hier ist ja unabhängig von dem x₁. Wir addieren einfach plus 5 drauf, alles gut. So, was passiert denn jetzt, wenn ich das x₁ durch x₂ ersetze? Wobei x₂ echt größer ist als x₁.

Ja. 3 mal x₁ ist natürlich kleiner als 3 mal x₂, wenn x₂ größer ist als x₁. Das bedeutet, wir können hier schreiben, dieser Ausdruck ist kleiner oder gleich, weil x₁ kleiner ist als x₂: 3x₂² plus 5. Also, ihr müsst euch quasi überlegen, 3x₁ ist kleiner oder gleich 3 mal x₂, weil x₂ eben größer ist als x₁. Ihr könnt auch gerne mal Zahlen einsetzen, nur um das kurz zu überprüfen.

Drei mal drei ist natürlich kleiner gleich drei mal vier und so weiter und so fort. Das könnt ihr jetzt mit jeder beliebigen Kombination aus R machen. Also zum Beispiel: Drei mal minus eins ist natürlich kleiner gleich drei mal null, und null ist größer als minus eins. So, aber was ist das jetzt hier? Das ist ja f von x². Was haben wir jetzt also gezeigt?

Wir haben gezeigt, dass aus \( x_1 < x_2 \) folgt, dass \( f(x_1) \leq f(x_2) \) ist. Das bedeutet also, dass \( f \) auf ganz \( \mathbb{R} \) definiert ist, weil \( x_1 \) und \( x_2 \) aus \( \mathbb{R} \) stammen. Da \( f \) nicht eingeschränkt ist, ist sie monoton wachsend. Warum nur monoton? Weil wir hier nur ein „kleiner gleich“-Zeichen haben. Jetzt kann man sich überlegen, ob dieser Strich hier eigentlich notwendig ist. Nein, ist er nicht.

Denn hier steht, dass \(x_1\) echt kleiner als \(x_2\) ist. Das bedeutet, dass natürlich auch \(3 \cdot x_1\) echt kleiner sein muss als \(3 \cdot x_2\). Das bedeutet, die Funktion \(f\) ist sogar streng monoton wachsend, weil die echte Ungleichung gilt. \(f(x_1)\) ist echt kleiner als \(f(x_2)\). Damit haben wir quasi gezeigt, dass ihr den Strich unten weglassen könnt, die Ungleichung wird trotzdem erfüllt, und daher ist die Funktion streng monoton wachsend auf \(\mathbb{R}\). Also nochmal kurz zusammengefasst: Ihr nehmt euch zwei Elemente aus der zu betrachtenden Menge, hier stimmt ihr mit dem Definitionsbereich überein, und nehmt dann an, \(x_1\) ist kleiner als \(x_2\). Dann müsst ihr schauen: Okay, was macht \(f(x_1)\) und \(f(x_2)\)? Ist es größer gleich, ist es kleiner gleich, ist es echt kleiner, ist es echt größer? Dann könnt ihr eben daraus schließen, ob die Funktion monoton ist oder streng monoton, und dann auch monoton wachsend oder monoton fallend.

In der zweiten Aufgabe sollen wir zeigen, dass die Funktion g, die von ℝ nach ℝ abbildet, mit g von x gleich 2, sowohl monoton fallend als auch monoton wachsend auf ihrem Definitionsbereich ist, also auf ℝ. Das stimmt ja so hier überein. Okay, und das ist ja schon etwas Besonderes. Eine Funktion ist auf ganz ℝ gleichzeitig monoton fallend und auch monoton wachsend. Ja, denn ich nehme das schon mal vorweg, wir haben ja eine konstante Funktion. Und das ist bei konstanten Funktionen immer der Fall. So, aber wir fangen mal an.

Wir wollen das natürlich nachweisen. Seien also \( x_1 \) und \( x_2 \) aus der zu betrachtenden Menge, in diesem Fall \( \mathbb{R} \), was mit dem Definitionsbereich übereinstimmt, und \( x_1 \) ist echt kleiner als \( x_2 \). Da müssen wir jetzt quasi für monoton wachsend zeigen, dass daraus folgt \( g(x_1) < g(x_2) \). Schauen wir uns mal \( g(x_1) \) an. Das heißt, hier setzen wir für das \( x \) \( x_1 \) ein, und man sieht, da die Funktion konstant ist, kommt da auf jeden Fall 2 raus. Wir müssen jetzt zeigen, dass das hier gleich \( g(x_2) \) ist. Und das können wir ganz leicht zeigen, denn 2 ist ja kleiner gleich sich selber, also 2.

Und das ist komplett unabhängig davon, dass \( x_1 < x_2 \) ist. Denn egal, was man hier oben für das Argument einsetzt, da kommt immer 2 raus, weil wir eben eine konstante Funktion haben. Das heißt, die 2 hier rechts kann ich auch darstellen oder schreiben als \( g(x_2) \). Das heißt, was haben wir gezeigt? Aus \( x_1 < x_2 \) folgt \( g(x_1) \leq g(x_2) \).

Und das ist die Definition für monoton wachsend und wegen dem hier auf ganz \( \mathbb{R} \). So, und jetzt kommt's. Das hier spielt gar keine Rolle für diese Aufgabe. Deswegen können wir zeigen, dass \( g(x_1) \), was ja 2 ist, auch gleichzeitig größer gleich \( g(x_2) \) ist. Wie gesagt, 2 ist natürlich größer gleich 2, 2 ist kleiner gleich 2, und das hier spielt gar keine Rolle. Das heißt, ich kann dieses Ungleichungszeichen hier drunter natürlich auch immer tauschen, denn 2 ist immer gleich 2.

Also, wenn man sich nur das anschaut, haben wir gezeigt, aus \( x_1 < x_2 \) folgt \( g(x_1) \geq g(x_2) \) für alle \( x_1 \) und \( x_2 \) aus \( \mathbb{R} \). Und das ist die Definition von monoton fallend. Also haben wir gezeigt, dass \( g \) auf ganz \( \mathbb{R} \) sowohl monoton wachsend als auch monoton fallend ist. Aber jetzt kommt es: niemals streng monoton, denn dafür müsste hier bzw. hier ein echtes Ungleichheitszeichen gelten, und das gilt nicht, denn 2 ist nie echt kleiner als 2 bzw. 2 ist nie echt größer als 2.

Das heißt, hier kann niemals ein echtes Ungleichungszeichen stehen, und daher ist die Funktion nirgendwo streng monoton. Und damit sind wir fertig. In der dritten Aufgabe sollen wir zeigen, dass die Funktion \( h \), die abbildet von \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) nach \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) mit \( h(x) = \frac{1}{x} \) auf den Intervallen \((- \infty, 0)\) und \((0, \infty)\), beides offene Intervalle, jeweils streng monoton fallend ist. Aber warum können wir nicht einfach eine Untersuchung machen und schreiben, dass \( h(x) \) auf \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) streng monoton fallend ist? Die 0 müssen wir natürlich rausnehmen, weil \( \frac{1}{0} \) nicht definiert ist. Warum müssen wir hier zwei Untersuchungen machen? Die Begründung ist eigentlich recht leicht, denn das wäre falsch.

Schauen wir uns mal die Funktion h an. Für x größer 0 sieht sie ungefähr so aus, und für x kleiner 0 sieht sie so aus. Man sieht, auf dem ganzen Definitionsbereich, also auf R ohne 0, ist die Funktion nicht monoton fallend. Sie fällt zwar für x kleiner 0, das sieht man hier, sie fällt. Auch für x größer 0 fällt sie, aber eben nicht auf dem gesamten Intervall.

Weil sie bei \( x = 0 \), beziehungsweise von links, wenn man die 0 dann überspringt, so einen Sprung macht. Für sehr nah an der 0, aber von links, ist der Funktionswert sehr, sehr klein. Und von \( x = 0 \) ein bisschen weiter rechts davon ist der Funktionswert sehr, sehr groß. Das heißt, aufgrund dieses Sprungs ist die Funktion auf ihrem gesamten Definitionsbereich nicht streng multiplizierbar, aber eben auf diesen beiden Teilintervallen. Das wollen wir einmal zeigen.

Wir starten also mit dem Intervall minus und ähnlich bis 0. Erstens seien \( x_1 \) und \( x_2 \) aus dem Intervall minus und ähnlich bis 0 mit \( x_1 < x_2 \). Und das ist jetzt wichtig: \( x_1 \) ist zwar kleiner als \( x_2 \), aber beide sind negativ, weil sie eben aus diesem Intervall kommen. Das ist wichtig für gleich. Und jetzt müssen wir uns hier anschauen, \( h(x_1) \) und \( h(x_2) \).

H von x1 ist dann also 1 durch x1. Und wenn x1 kleiner ist als x2, aber negativ, dann ist 1 durch x1 größer als 1 durch x2. Macht euch das gerne an einem Beispiel mal klar. Also setzt x1 gleich -2 und x2 muss ja größer sein, aber immer noch negativ, also -1. Und dann seht ihr, 1 durch x1 ist 1 durch -2, das ist -0,5.

Setzt hier x₂ ein, dann steht da 1 durch minus 1, das ist minus 1. Und ihr seht, minus 1,5 ist größer als minus 1. Und das gilt natürlich für alle Elemente, die das hier erfüllen. Und 1 durch x₂ ist ja dann nichts anderes als h von x₂. Wir zeigen aus x₁ kleiner x₂ mit x₁, x₂ aus diesem Intervall, dass h von x₁ größer als h von x₂ ist. Somit ist h auf dem Intervall minus unendlich bis 0 streng monoton fallend.

So, dann kommen wir zum zweiten Intervall, 0 bis unendlich. Das bedeutet, nun sind x₁ und x₂ aus dem Intervall 0 bis unendlich, also positiv, mit x₁ kleiner x₂. Und dann schauen wir uns wieder h von x₁ und h von x₂ an. Hoffentlich kommt dann heraus, dass h von x₁ größer ist als h von x₂. Okay, starten wir aber mit h von x₁.

Das ist 1 durch x1. So, und das können wir jetzt wieder nach unten abschätzen. Also können wir schreiben, dass es größer ist als 1 durch x2. Und dann schauen wir uns wieder h von x1 und h von x1 an. So, und das können wir jetzt wieder nach unten abschätzen.

Also, wir können schreiben, dass es größer ist als 1 durch x2, weil eben x1 kleiner ist als x2. Daher gilt diese Ungleichung. Ihr könnt das gerne mal testen. x1 ist positiv, aber kleiner als x2, das heißt zum Beispiel 1. x2 ist größer als x1, also 2. Dann ergibt sich natürlich 1 durch 1 ist 1.

Das ist größer als 1 durch 2. Und das gilt dann natürlich, das ist nur ein konkretes Beispiel, das gilt natürlich für alle Elemente, die das hier erfüllen. Und 1 durch x² ist natürlich h von x² und das gilt für alle Elemente, die das erfüllen. Das bedeutet somit, dass h auf dem Intervall von 0 bis unendlich streng monoton fallend ist. Aber wichtig ist, h ist nicht auf ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton fallend, weil, wie ich euch gesagt habe, an der Definitionslücke macht der Funktionsgraf nämlich einen Sprung. In der vierten Aufgabe sollen wir zeigen, dass die Funktion j, die abbildet von ℝ nach ℝ mit j von x gleich Betrag von x auf dem offenen Intervall von minus unendlich bis 0 streng monoton fallend ist und auf dem offenen Intervall von 0 bis unendlich streng monoton wachsend.

Wir werden gleich sehen, dass man diese Intervalle hier auch halb offen hätte wählen können, also die 0 jeweils mit reinmachen, also die eckige Klammer hier auch. Dann wäre die Aussage immer noch richtig. Das könnt ihr gerne machen, aber das ist hier nicht so wichtig. Das, was hier steht, ist natürlich weiterhin richtig. Also, kommen wir so, erstens: Wir schauen uns dieses Intervall an. Wir nehmen also \( x_1 \) und \( x_2 \) aus diesem Intervall mit \( x_1 < x_2 \).

Und dann schauen wir uns jetzt j von x1 an und j von x2. Also j von x1 ist ja der Betrag von x1. Und wir wissen ja, x1 ist auf jeden Fall negativ. Das bedeutet, um den Betrag hier aufzulösen, machen wir ein Minuszeichen davor. Das ist gleich minus x1. Das können wir jetzt nach unten abschätzen.

Wir können also hier ein größeres Zeichen machen, weil x1 kleiner als x2 ist. Und beide sind negativ, das ist wichtig. Ist minus x1 größer als minus x2? Könnt ihr gerne wieder anhand eines Beispiels zeigen.

Ich wähle \( x_1 \) gleich minus 2, und \( x_2 \) ist auch in diesem Intervall dabei, größer als \( x_1 \), also minus 1. Und dann seht ihr, minus minus 2 ist 2 und das ist größer als minus minus 1 und das ist 1. 2 ist größer als 1. Und das gilt natürlich für alle \( x_1 \) und \( x_2 \), die das hier erfüllen. Und minus \( x_2 \), weil \( x_2 \) ja negativ ist, ist das gleiche wie der Betrag von \( x_2 \), und das ist ja nichts anderes als \( j(x_2) \). Das heißt, wir haben gezeigt, mit \( x_1 < x_2 \), wobei \( x_1, x_2 \) aus diesem Intervall stammen, folgt, dass \( j(x_1) \) echt größer ist als \( j(x_2) \).

Das ist die Definition von streng monoton fallend. Das bedeutet, \( j \) ist auf dem Intervall von minus unendlich bis 0 streng monoton fallend. So, und jetzt, wie man hoffentlich sieht, wenn man hier die Null mit einbezieht, dann wäre die Ungleichung immer noch erfüllt. Deswegen könnte man das auch so machen. In dieser Aufgabe ist jedoch das offene Intervall gegeben, also lassen wir das so.

Dann kommen wir zu zweitens. \( x_1 \) und \( x_2 \) sind jetzt aus dem grünen Intervall, also von 0 bis unendlich, also positiv mit \( x_1 < x_2 \). Dann schauen wir uns wieder \( j \) von \( x_1 \) an. Das ist ja der Betrag von \( x_1 \). Und weil \( x_1 \) positiv ist, kann ich, um den Betrag aufzulösen, einfach die Betragstriche weglassen.

Das ist also einfach \( x_1 \). Und wir wissen ja, \( x_1 \) ist echt kleiner als \( x_2 \). Deswegen ist diese Ungleichung hier, haben wir zweimal das Gleiche hingeschrieben. \( x_2 \) ist auch positiv, das bedeutet, \( x_2 \) ist natürlich gleich dem Betrag von \( x_2 \) und das ist gleich \( j(x_2) \). Also haben wir gezeigt, dass \( x_1 < x_2 \). Daraus folgt \( j(x_1) < j(x_2) \), wobei \( x_1 \) und \( x_2 \) aus diesem Intervall hier sind. Also haben wir, dass \( j \) auf diesem Intervall \( (0, \infty) \) streng monoton wachsend ist. Und auch hier, wenn wir die 0 mit reingenommen hätten, wäre die Ungleichung immer noch wahr.

Also würde das auch gehen. Haben wir jetzt hier nicht, also sind wir jetzt fertig. Korrelat 217 seien \(i\) und \(w\) Teilmengen von \(R\). Für eine Funktion \(f\) von \(i\) nach \(w\ gilt: \(f\) ist streng monoton. Da ist egal, ob wachsend oder fallend, streng monoton ist wichtig. Dann folgt daraus, wir kriegen also dann quasi geschenkt, dass \(f\) injektiv ist. Wenn wir also eine streng monotone Funktion haben, dann ist \(f\) injektiv. Brauchen wir gar nicht mehr nachrechnen, ist dann einfach so.

Das ist natürlich eine coole Sache und das beweisen wir jetzt auch mal. Also führen wir den Nachweis für den Fall Wachsend, also monoton wachsend, oder manchmal sagt man ja auch monoton steigend. Fallen geht dann ganz analog, da muss man nur die Ungleichheitszeichen etwas anders schreiben. Zur Erinnerung, um Injektivität zu zeigen, was mussten wir da machen? Wir nehmen an, dass wir zwei x-Werte, x₁ und x₂, aus dem Definitionsbereich mit identischem Funktionswert hätten.

Also, wir haben dann den Fall, dass \( f(x_1) = f(x_2) \) ist. Um zu zeigen, dass \( f \) injektiv ist, müsste man dann zeigen, dass das nur geht, wenn bereits \( x_1 = x_2 \) ist. Wir wissen ja, Injektivität bedeutet, dass keine zwei \( x \)-Werte auf dasselbe \( y \), beziehungsweise denselben Funktionswert abgebildet werden. Damit hätten wir dann die Injektivität von \( f \) gezeigt. Gehen wir mal die verschiedenen Möglichkeiten für \( x_1 \) und \( x_2 \) durch.

Wir wollen herausfinden, dass \(x_1\) gleich \(x_2\) ist. Wir haben aber drei Möglichkeiten dafür. Nehmen wir also an, unsere Funktion wäre streng monoton wachsend und es gelte für beliebige \(x_1, x_2 \in I\), dass \(f(x_1) = f(x_2)\) ist. Wir wollen ja Injektivität zeigen. Das ist dann unsere Voraussetzung.

Wir wollen zeigen, dass \( x_1 = x_2 \). Jawohl. Also, wir wollen zeigen, dass \( x_1 = x_2 \). Möglich sind jetzt drei Fälle. Vergleiche Kapitel 1.

Für \( a, b \) aus \( \mathbb{R} \) gilt stets genau eine der Beziehungen \( a < b \), \( a > b \) oder \( a = b \). Genauso ist das auch für \( x_1 \). Sie können kleiner sein, größer oder gleich, also \( x_1 < x_2 \), \( x_1 > x_2 \) oder \( x_1 = x_2 \). Wir gehen die Fälle nacheinander durch. Der erste ist \( x_1 < x_2 \). Was haben wir dann? Wir wissen ja nach Voraussetzung, dass \( f \) streng monoton wachsend ist.

Und das sagt eben genau, wenn \( x_1 < x_2 \) ist, folgt daraus, dass \( f(x_1) < f(x_2) \) ist. Und das ist natürlich ein Widerspruch zu dem, was wir gerade gesagt haben, nämlich \( f(x_1) = f(x_2) \). Kann also nicht sein. Der Fall \( x_1 < x_2 \) kann es nicht sein, kann gar nicht auftreten. Sonst hätten wir nicht, dass die beiden Funktionswerte gleich sind. Ja, machen wir den nächsten Fall.

\( x_1 > x_2 \). Wieder das Gleiche. Da \( f \) streng monoton wachsend ist, wenn \( x_1 > x_2 \), dann ist \( f(x_1) > f(x_2) \). Je weiter wir nach rechts auf der reellen Achse uns bewegen, desto größer werden die Funktionswerte. Da \( x_1 \) weiter rechts auf der Achse ist, ist auch der Funktionswert größer als der von dem kleineren \( x_2 \).

Und das ist wieder ein Widerspruch zu unserer Annahme, dass die beiden ja gleich sind. Das kann also auch nicht eintreten. Dann bleibt also nur noch der dritte Fall, und damit sind wir dann auch fertig: \( x_1 = x_2 \). Wir haben ja gesagt, es gibt nur drei Möglichkeiten.

Die, die oder die. Und die wollen wir ja haben. Wir wollen haben, dass es x1 gleich x2 ist. Die anderen beiden haben wir jetzt schon ausgeschlossen. Also muss es die dritte sein.

Wir sind also fertig, denn da \( x_1 < x_2 \) nicht auftreten kann und genauso \( x_1 > x_2 \) nicht auftreten kann, und genauso \( x_1 \neq x_2 \) nicht auftreten kann, muss gelten, dass die beiden gleich sind. Und damit haben wir die Injektivität gezeigt. Wenn zwei Funktionswerte gleich sind, kann das nur bei einer streng monoton wachsenden Funktion der Fall sein, dass die beiden \( x \)-Werte gleich sind. Wir haben also gezeigt, dass es sich um eine streng monotone Funktion handelt. Wir haben es jetzt nur für die steigende Funktion gezeigt, aber für die fallende kann man es ja mal überlegen, das geht ganz analog.

Man muss dann einfach nur hier ein bisschen anders sein, dann ändern sich diese Dinge, und das war es dann schon. So, ist stets injektiv. Zack, damit haben wir das gezeigt und können ab sofort das dann benutzen. Bemerkung 2.18: Die Rückrichtung, also eine injektive Funktion, folgt daraus, dass sie streng monoton wachsend oder fallend ist; das klappt nicht.

Im Allgemeinen ist das so nicht richtig. Wie zeigen wir das? Ja, wir geben ein Gegenbeispiel an, wo es nicht so ist. Ein Beispiel dafür ist zum Beispiel \( f : \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R} \setminus \{0\} \) mit \( f(x) = \frac{1}{x} \). \( f \) ist injektiv, sogar bijektiv, aber auf dem ganzen Definitionsbereich nicht streng monoton fallend. Wie können wir herausfinden, dass das nicht streng monoton fallend ist? Wir schauen uns das mal am Graphen der Funktion an.

Das ist der Graph der Funktion \( \frac{1}{x} \). Bei \( 0 \) ist die Funktion ja nicht definiert, deswegen haben wir auch keinen Funktionswert bei \( 0 \). Jetzt sehen wir natürlich, dass hier alles streng monoton fallend ist. Es geht immer weiter. Und wenn wir uns irgendwo nach rechts bewegen, bleibt es auch immer streng monoton fallend.

Probleme bekommen wir erst, wenn wir ein \( x \) aus dem Bereich nehmen und als zweites \( x \) ebenfalls aus dem Bereich. Dann sieht man ja schon, der Funktionswert von dem \( x \) aus dem Bereich ist negativ. Der Funktionswert von dem \( x \) aus dem Bereich ist auf jeden Fall positiv. Das heißt, er ist auf jeden Fall größer als der Funktionswert hier auf der linken Seite. Und das wäre bei streng monoton fallend quasi ein Widerspruch.

Weil, wenn wir weiter nach rechts gehen, müssen die Funktionswerte immer weiter fallen. Hier sind sie negativ, dort sind sie positiv, offensichtlich verantwortlich. Wellen sie dann nicht, wenn man diesen einen Sprung macht hier. Und man muss die Funktion immer als Ganzes sehen. Das muss für alle x₁ und x₂ gelten mit x₁ kleiner x₂. Das ist also das Gegenbeispiel dazu.

Das gerade betrachtete Beispiel zeigt, dass es manchmal sinnvoll ist, Funktionen, zum Beispiel deren Monotonie, abschnittsweise zu betrachten. Wir haben ja gesehen, dass wir hier zwei Bereiche haben: einmal den linken Bereich, da war es komplett streng monoton fallend. Im rechten Bereich war es ebenfalls komplett streng monoton fallend. Aber insgesamt gesehen konnten wir das nicht bestätigen. Das heißt, wir betrachten Funktionen sinnvollerweise abschnittsweise.

Beispiel 2.19. \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x) = \frac{1}{x} \) ist streng monoton fallend für \( -\infty < x < 0 \) und streng monoton steigend für \( 0 < x < \infty \). Das ist eine Eigenschaft, die man durchaus nutzen kann. Insgesamt kriegen wir es nicht, aber auf diesen beiden Intervallen ist die Funktion streng monoton fallend. Zweitens ist die Funktion \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x) = x^2 \) für \( x \leq 0 \) ebenfalls relevant. Wir wissen ja, wie das aussieht.

Kleiner gleich 0 ist es auf jeden Fall streng monoton fallend, und für x größer gleich 0 ist es streng monoton wachsend. Wir wissen ja, wie das Ding aussieht: Für x kleiner gleich 0 ist es auf jeden Fall streng monoton fallend, und für x größer gleich 0 ist es streng monoton wachsend. Es macht also wirklich Sinn, von Abschnitten zu sprechen. Definition 220: Für a größer 0 sei eine Funktion f von -a bis a nach ℝ gegeben.

F heißt gerade, falls \( f(-x) = f(x) \) für alle \( x \) aus diesem Intervall von \(-a\) bis \(a\) gilt. Deswegen haben wir auch \(-a\) bis \(a\) genommen. Jeder Funktionswert muss auftauchen, einmal ein Plus, einmal ein Minus. Deswegen haben wir das jetzt mal so geschrieben. So, also für alle \( x\) mit \(-a \leq x \leq a\). Man nennt das gerade, wenn es egal ist, ob man das Negative einsetzt oder das ohne Minuszeichen; es kommt der gleiche Funktionswert heraus. Bei ungeraden Funktionen haben wir einen etwas anderen Fall: Dann haben wir \( f(-x) \). Das ist jetzt nicht gleich \( f(x) \), sondern gleich \(-f(x)\).

Und genauso der Rest dahinter, genau wie gerade. Also hat eine gerade Funktion für die negative Seite die gleichen Funktionswerte wie für die positive Seite. Eine ungerade Funktion hat für die negative Seite fast die gleichen Funktionswerte, allerdings mit einem Minus davor. Da wechselt man nochmal von oben nach unten oder von unten nach oben. Ihr kennt das ja auch schon aus der Schule. Eine gerade Funktion kann man an der y-Achse spiegeln und ist dann identisch.

Die ungerade Funktion kann man am Nullpunkt spiegeln und ist dann identisch. Corolla 221. Erstens, das Produkt zweier gerader Funktionen: Wir haben eine gerade Funktion und eine gerade Funktion. Wenn wir diese multiplizieren, ergibt sich eine gerade Funktion. Das wollen wir jetzt einmal kurz beweisen.

Denn um zu zeigen, dass \(f\) und \(g\) gerade Funktionen sind, betrachten wir \(h(x)\). Wir definieren \(h(x)\) einfach als \(f(x) \cdot g(x)\). Das ist eine gerade Funktion. Was bedeutet es, dass eine Funktion gerade ist? Das haben wir gerade definiert. Das heißt, es muss gelten, dass die Definition von gerade \(h(-x)\) dasselbe ist wie \(h(x)\). Und das zeigen wir jetzt.

Wir starten mit \( h(-x) \), setzen alles ein, was wir wissen, und erhalten dann \( h(x) \) und haben damit gezeigt, dass \( h \) eine gerade Funktion ist. Also \( h(-x) \), was war \( h(x) \)? Das ist \( f(x) \cdot g(x) \). Dann ist \( h(-x) \) einfach in der Definition \( f(-x) \cdot g(-x) \). Wissen wir irgendetwas? Ja, wir wissen, dass \( f \) und \( g \) gerade Funktionen sind. Was bedeutet das für sie?

Ja, für die heißt das, dass \( f(-x) = f(x) \) und \( g(-x) = g(x) \). Also, einfach nur, weil das gerade Funktionen sind, können wir dafür auch dasselbe schreiben, ohne Minuszeichen. So, und was ist \( f(x) \cdot g(x) \)? Haben wir uns ja gerade selbst definiert, ist \( h(x) \). Also sind wir fertig.

Hier ist der Text mit korrekter Groß- und Kleinschreibung sowie grammatikalischen Korrekturen reformatiert: H ist eine gerade Funktion. So einfach ist das. Weiter gilt: Das war noch das Erste. Wir haben noch das Zweite und das Dritte. Zweitens: Das Produkt zweier ungerader Funktionen. Was ist das wohl? Zwei gerade Funktionen multipliziert ergibt eine gerade Funktion. Zwei ungerade Funktionen multipliziert ergibt auch eine gerade Funktion. Und drittens: Das Produkt einer geraden Funktion und einer ungeraden Funktion. Was ist das wohl? Richtig, das ist ungerade. Man kann sich das auch mit dem Minus erklären.

Minus mal minus ist plus und plus mal minus ist eben minus. Also, Beweis zu Zweitens und Drittens, das macht ihr in den Übungen mal selbst. Das stellen wir euch als Aufgabe. Wir wissen schon aus Kapitel 1, also fangen wir jetzt ein neues Unterkapitel an, nämlich 3. Trigonometrische Funktionen. Wir haben bereits bei Polarkoordinaten über Sinus, Cosinus und auch Tangens ein bisschen gesprochen.

Wir wollen das noch ein bisschen ergänzen. Also, Cosinus- und Sinusfunktionen sind \(2\pi\)-periodisch. Das haben wir damals am Einheitskreis erklärt, wie sie überhaupt entstehen. Und natürlich macht es Sinn, dass nach \(2\pi\), also wenn man einmal um den Kreis herumgegangen ist, alles wieder von vorne anfängt. Genauso, wenn man in die andere Richtung geht, also negativ, ist es genau das Gleiche.

Auch Cosinus und Sinus von sin sind 2π-periodisch. Das heißt, es gilt: Cosinus von x plus ein Vielfaches, also k mal 2π, ist gleich Cosinus von x. Genau dasselbe gilt für Sinus. Und zwar für alle x aus ℝ und für k aus den ganzen Zahlen. Also Vielfache von 2π. Jawohl, nach einer vollen Umdrehung, also nach 2π, sind wir wieder am selben Punkt.

Schaut euch das zur Not nochmal an, wenn ihr das nicht genau wisst. Zweitens gilt für alle \( x \) aus \( \mathbb{R} \): Der Cosinus von minus \( x \) ist dasselbe wie der Cosinus von \( x \). Was bedeutet das dann? Haben wir doch gerade irgendwie etwas gemacht? Ja, der Cosinus ist eine gerade Funktion.

Okay, einfach mal darüber nachdenken. Und wir sehen ja auch, wenn wir uns den Graphen angucken, der ist symmetrisch zur y-Achse, achsensymmetrisch. Für alle \( x \) aus \( \mathbb{R} \) gilt: der Sinus von minus \( x \) ist dasselbe wie minus der Sinus von \( x \). Da war doch was. Ganz genau, der Sinus ist eine ungerade Funktion. Er ist also punktsymmetrisch zum Ursprung. Auch hier einfach mal am Einheitskreis überlegen, warum das so ist.

Dann haben wir noch viertens: Es taucht total oft auf, der Cosinus-Quadrat von x plus der Sinus-Quadrat von x. Ein schwieriger Ausdruck, aber es kommt 1 heraus. Und das folgt direkt aus dem Satz von Pythagoras. Einfach am Einheitskreis. Haben wir ja schon mehrmals angeschaut mit dem Winkel Alpha und so weiter. Und dann folgt genau das.

So, fünftens: Der Betrag des Kosinus von x ist immer kleiner oder gleich 1. Das liegt daran, dass die Werte für den Kosinus zwischen -1 und 1 liegen. -1 und 1 gehören ebenfalls dazu. Er schwankt also immer zwischen -1 und 1.

Also ist der Betrag kleiner oder gleich 1. Dasselbe gilt für den Sinus. Auch der Betrag ist kleiner oder gleich 1. Beim Sinus hat man noch eine schöne Eigenschaft, nämlich, dass der Sinus von x betragsmäßig kleiner oder gleich dem Betrag von x ist. Das nutzen die Physiker sehr gerne. Das sieht man auch.

Betrag von \( x \). Das nutzen die Physiker sehr gerne. Das sieht man auch: Betrag von \( x \), also \( x \) wäre die Winkelhalbierende. Der Betrag wäre es dann auf der anderen Seite nochmal so. Habt ihr vielleicht schon mal gesehen; haben wir letztens ja auch auf den Tutoriumsblättern gehabt, die Funktion. Und der Sinus ist immer kleiner oder gleich dieser Funktion Betrag von \( x \). Kann man also dadurch abschätzen, nennt man das. Gut, also sechstens: Wann werden Sinus und Cosinus gleich null?

Also, wo sind die Nullstellen von Sinus und Kosinus? Das Problem ist, dass es unendlich viele gibt, weil sich die Funktionen ja unendlich oft in 2π-Abständen quasi wiederholen. Es tauchen also immer wieder Nullstellen auf. Aber wo sind die beim Sinus und wo sind sie beim Kosinus genau gleich null? Es gilt: Der Kosinus von x ist genau dann null, wenn x gleich plus minus π/2 ist. Schauen wir uns gleich den Graphen nochmal an, dann sehen wir das. Außerdem gilt das für plus minus 3π/2, plus minus 5π/2 und so weiter.

Die liegen alle π auseinander. Seht ihr das? Ja, also immer 2 halbe π auseinander, was ja 2 halbe kürzen wir, das ist also π. So, das kann man so schreiben: das ist k plus 1 halb mal π für k aus ℤ.

Okay? So sieht das aus. Also, wann ist der Sinus gleich 0? Das ist ein bisschen einfacher. Wir wissen, bei 0 ist er 0, bei π, also bei minus π auch, 2π, minus 2π und so weiter und so weiter.

Also, hier ist es einfacher: Das sind alle k mal pi für k aus den ganzen Zahlen (ℤ). Die Graphen von Sinus und Cosinus gehen immer so weiter nach links und nach rechts, genau hier. Da sieht man zum Beispiel hier beim Cosinus, die Nullstellen sind einmal π/2, der Cosinus ist das blaue, und einmal -π/2 und dann immer ein π weiter. Genau wie hier. Bei Sinus sind die Nullstellen, wir starten bei null und dann immer bei π, 2π und so weiter. Wenn man die Graphen einigermaßen im Kopf hat, braucht man nicht auswendig zu lernen, was der Cosinus von null oder was der Sinus von null ist. Man weiß ja, wie das aussieht.

Oder man erklärt sich das am Einheitskreis, wie Sinus- und Cosinus-Funktionswerte sind. Gut, auch hier kann man viele Eigenschaften sofort ablesen. Achtens: Sinus- und Cosinus-Funktionen sind abschnittsweise. Gucken wir uns noch mal an, was könnte man wohl abschnittsweise über den Sinus, die rote Funktion, sagen, zum Beispiel von hier bis hier. Ja, genau.

Streng monoton wachsend. Von hier bis hier, streng monoton wachsend, von hier bis hier streng monoton wachsend, von da bis da streng monoton fallend. Und dann wieder streng monoton wachsend. Das heißt, wir finden unendlich viele Abschnitte, sowohl bei Sinus als auch bei Cosinus, wo es streng monoton wachsend oder auch streng monoton fallend ist. Also, die Sinusfunktion ist streng monoton wachsend, zum Beispiel auf minus pi Halbe bis pi Halbe. Streng monoton fallend, zum Beispiel auf minus drei Halbe pi bis minus pi Halbe bis pi Halbe.

Streng monoton fallend ist beispielsweise der Bereich von -3/2π bis -π/2. Die Cosinusfunktion ist streng monoton wachsend, zum Beispiel im Bereich von -π bis 0 und von π bis 2π. Sie ist streng monoton fallend in den Bereichen von 0 bis π und von 2π bis 3π. Ihr könnt ja nochmal zurückspulen und schauen, wie das aussieht. Achtung, da die beiden Funktionen 2π-periodisch sind, wiederholen sich diese Bereiche bei Verschiebungen um Vielfache von 2π. Das heißt, versucht doch mal, allgemein anzugeben, in welchen Bereichen die Sinusfunktion oder auch die Cosinusfunktion streng monoton wachsend beziehungsweise streng monoton fallend ist.

Das ist eine gute Übung, da könnt ihr das mal allgemein hinschreiben. Ja, wir rufen uns auch noch einmal, das haben wir ja auch schon im ersten Kapitel einmal kurz gemacht, die Additionstheoreme für Sinus und für Kosinus auf. Bemerkung 162 war das damals. Also für \(x, y\) aus \(\mathbb{R}\) gelten, wie schon in Kapitel 1 angemerkt, die Additionstheoreme. Wir nummerieren die einfach der Reihe nach durch. Wir haben vier Stück insgesamt, also AT1.

Sagt etwas über den Kosinus einer Summe aus. Das ist dasselbe wie Kosinus x, Kosinus y, minus Sinus x, Sinus y. Dann den Kosinus einer Differenz. Sieht ein bisschen anders aus. Der einzige Unterschied ist hier das Zeichen. Deswegen schreibt man sowas oft auch in einer Formel, aber dann hat man hier plus minus und hier minus plus. Das sieht irgendwie komisch aus, deswegen machen wir das einzeln.

Kommt ja nicht durcheinander. So, das zweite Additionstheorem geht über den Sinus, einmal als Summe und einmal als Differenz. Auch hier ist es genau gleich, nur die beiden Zeichen unterscheiden sich. Okay, so. Und wir verzichten hier darauf, man könnte es geometrisch führen, dauert dann aber sehr lange und bringt einem gar nichts.

Wichtig ist: Die Additionstheoreme sind nicht schön, aber total nützlich. Und wir kriegen dadurch einfach total viele Formeln für Sinus und Kosinus heraus. Geben wir euch gleich auch schon mal einen Vorgeschmack. Es gibt noch viel mehr, aber wir geben euch einen Vorgeschmack und zeigen euch jetzt, wie man das dann anwendet, um neue Formeln daraus zu gewinnen. Korrell 222: Aus den Additionstheoremen erhalten wir für \( x \in \mathbb{R} \), \( k \in \mathbb{Z} \): Sinus von \( x + \frac{\pi}{2} \) ist dasselbe wie Kosinus von \( x \). Wenn man also mal von Sinus auf Kosinus umrechnen will, kann man das machen. Sinus von \( x + k \cdot \pi \) – so etwas taucht auch ab und zu in irgendwelchen Beweisen oder in Dingen auf, die man haben will.

Und das kann man geschickter schreiben, einfacher schreiben als minus 1 hoch k mal Sinus von x. Das k hier drin stört natürlich, aber hier ist es dann einfach nur entweder 1 oder minus 1 mal Sinus x. Also je nach k ist es entweder Sinus x oder minus Sinus x. Coole Sache. Zweitens, für Cosinus gilt das Gleiche hier. Also wird das hier oben umgeschrieben zu Cosinus. Und jetzt können wir den Sinus x wieder so schreiben. Coole Sache.

Ja, das ist eins. Und zweitens: Kosinus x plus k mal Pi kann man auch schreiben als minus 1 hoch k, nämlich mal Kosinus x. Okay, also eigentlich, wo kommen die Formeln jetzt her? So, ja, wir schauen uns das mal zusammen an.

Also, erstens, wir wollen erst einmal zeigen, dass der Sinus von \( x + \frac{\pi}{2} \) gleich dem Kosinus von \( x \) ist. Wie machen wir das? Wie üblich starten wir einfach links: \( \sin(x + \frac{\pi}{2}) \). Was kann man da machen? Wir haben ja schon gesehen, dass wir aus den Additionstheoremen darauf kommen können.

Das heißt, wir müssen uns das Angucken. Wir schauen uns nochmal die Additionstheoreme an. Und wir hatten hier den Sinus von der Summe. Dann sehen wir, was man damit macht. Man berechnet den Sinus des ersten Winkels multipliziert mit dem Cosinus des zweiten Winkels plus den Cosinus des ersten Winkels multipliziert mit dem Sinus des zweiten Winkels. Also eigentlich relativ leicht zu merken.

So, dann machen wir das doch mal. Also, wir nutzen dieses Attribut 3. Der Sinus des ersten ist der Sinus von x mal der Kosinus des zweiten, plus der Kosinus des ersten mal der Sinus des zweiten. So, jetzt muss man natürlich wissen, was der Kosinus von Pi halbe ist.

Und was ist der Sinus von pi halbe? Wenn man sich die Graphen nochmal anguckt, spult jetzt mal nicht mehr zurück, dann sieht man, der Cosinus von pi halbe ist 0. Das heißt, mal 0 fällt natürlich der ganze Ausdruck hier vorne weg. Und der Sinus von pi halbe, der Sinus geht bei 0 so hoch und hat bei pi halbe die höchste Stelle, also ist das 1. Also Cosinus x mal 1.

Jetzt gucken wir uns mal an, was dabei herauskommt: 0 plus 1 mal Cosinus, also Cosinus, also Cosinus x. Und das ist genau das, was wir hier herausgekriegt haben. Mit den Additionstheoremen, mit AT3, ist das eine ganz einfache Rechnung. Solche Fragen stellen wir übrigens gerne auch mal in der Klausur. Da muss man also einfach nur die Additionstheoreme geschickt einsetzen.

Einfach nur ein bisschen was über Sinus und Cosinus wissen und schon ist man fertig und kriegt ordentlich Punkte. Das zweite, was zu zeigen war, war, dass der Sinus von \(x + k \cdot \pi\) gleich \((-1)^k \cdot \sin(x)\) sein soll. Auch da starten wir einfach mal auf der linken Seite. So, wir haben wieder eine Summe beim Sinus, also nutzen wir wieder das Additionstheorem. Das wäre Sinus mal das erste Mal Cosinus vom zweiten plus, da reden wir gleich drüber, plus Cosinus vom ersten Mal Sinus vom zweiten. So, also jetzt habe ich hier schon drunter geschrieben, dass das \((-1)^k\) ist. Das ist ein bisschen schnell, das glaubt mir ja kein Mensch.

Deswegen schauen wir einfach mal, was der Kosinus von 0 mal pi ist. Wir starten einfach mal mit k gleich 0. Der Kosinus von 0 mal pi ist ja der Kosinus von 0. Wo beginnt der Kosinus bei 0? Das habt ihr bestimmt jetzt schon im Kopf, das ist eine 1.

Der Kosinus von 0 ist 1. Also, was haben wir für den Kosinus von 1 mal π? Was wäre das? Wenn wir uns das im Graphen anschauen, ist das natürlich der Kosinus von π. Was kommt dabei heraus?

Wir sehen, es kommt raus minus 1. Also, machen wir noch den Kosinus von 2 mal Pi. Der Kosinus von 2 Pi ist dann auf einmal wieder 1. Ja, der Kosinus von 3 Pi. Wir rechnen das aus und sehen, hey, es ist minus 1.

Offensichtlich wechselt das immer hin und her. Und wir schauen mal, 1 ist ja dasselbe wie minus 1 hoch 0. Minus 1 ist dasselbe wie minus 1 hoch 1. 1 ist wieder dasselbe wie minus 1 hoch, wir sind ja jetzt hier bei 2 π, also 2. Und minus 1 ist dasselbe wie minus 1 hoch 3.

Wir sehen also, wenn wir das so weitermachen würden, würden wir sehen, dass wir das eigentlich jetzt noch per vollständiger Induktion beweisen müssten. Das schenken wir uns natürlich, aber der Kosinus von k mal Pi wäre minus 1 hoch k. Das heißt, hier Kosinus k mal Pi. Hier macht man geschickterweise auch noch eine Klammer drum, dass man weiß, das gehört beides zum Kosinus. Das wäre minus 1 hoch k. Das heißt, wir haben minus 1 durch k mal Sinus x. Das haben wir schon mal. Und hier geht es jetzt weiter. Kosinus x. Okay, was ist Sinus von, hier machen wir auch am besten Klammern drum.

Was ist der Sinus von k mal Pi? Also der Sinus von 0 mal Pi. Der Sinus von 0 ist 0. Der Sinus von Pi ist 0. Das haben wir alles gerade gesehen.

Bei \( k \cdot \pi \) für \( k \) aus \(\mathbb{Z}\) ist der Sinus immer 0. Das heißt, \( 0 \cdot \cosinus x \) ist 0. Das ist alles 0, das heißt, es bleibt nur \(-1^k \cdot \sinus x\) übrig. Wir machen jetzt mal alles weg. So, alles weg. Und dann haben wir also \(\sinus x \cdot (-1)^k + \cosinus x \cdot 0\). Das schreiben wir noch geschickt da oben, dann steht da \(-1^k \cdot \sinus x\).

Und damit haben wir das auch gezeigt. Die anderen beiden gehen relativ gleich. Überraschend ist hier, dass auf einmal noch etwas anderes auftaucht. Probiert das einfach mal. Wir werden euch das in den Übungen zeigen. Satz 223.

Weitere nützliche Ausdrücke. Für \( x, y \) aus \( \mathbb{R} \) gelten: Jetzt machen wir das alles mal auf. Der Cosinus von \( x \) plus der Cosinus von \( y \) kann man auch so schreiben. Das sieht jetzt nicht unbedingt einfacher aus, ganz im Gegenteil, aber wir müssen so eine Gleichung ja immer auch von rechts nach links lesen.

Das heißt, wenn wir so etwas haben, was total schwierig aussieht, dann können wir das einfach so schreiben: \(\cos x - \cos y\) geht so ähnlich. Man kann auch den Sinus eher auf dieser Seite sehen. Von da nach da können wir das erheblich vereinfachen. Ähnliches gibt es für den Sinus; das kann man so schreiben. Eine Differenz kann man so schreiben.

Manchmal hat das auch Vorteile. Wenn man von links nach rechts schaut, hat das ebenfalls Vorteile. Denn hier haben wir eine Differenz, wenn man an Nullstellen denkt. Hier haben wir jetzt einmal, wann wird das hier gleich Null und wann wird das gleich Null? Das kann man hier viel einfacher sagen.

Denn man muss nur gucken, wann wird das gleich 0 oder wann wird das gleich 0. Und schon hat man die Nullstellen, weil das ja null wird, wenn einer der beiden gleich 0 ist. Bei einer Differenz ist das viel schwieriger, da müssen die beiden gleich sein. Das kriegt man natürlich auch raus. 1 plus Cosinus x ist gleich 2 mal Cosinus Quadrat x halbe.

Das sind ganz erstaunliche Sachen, die man auf den ersten Blick erstmal so gar nicht glaubt. \(1 - \cos(x) = \frac{1}{2} \sin^2(x)\). \(\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)\). Wenn man also \(2 \cdot \sin(x) \cdot \cos(x)\) hat, kann man das sofort als \(\sin(2x)\) schreiben. Cool, oder? \(\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\) oder auch \(2 \cos^2(x) - 1\) oder auch \(1 - 2 \sin^2(x)\).

Also, es gibt unendlich viele Formeln, die wir alle nur durch Nutzung der Additionstheoreme herausfinden können. Und durch die Dinge, die wir bereits über Sinus und Cosinus wissen, auch den trigonometrischen Pythagoras und so weiter. Jawohl, ich werde die alle nochmal durchgehen. Diese ganzen Dinge werden wir auch alle in den Übungen beweisen. Beziehungsweise ich mache ein bisschen was, Max wird gleich auch noch etwas machen, aber im Endeffekt geht es darum, dass ihr selbst mit den Tricks arbeitet. Man braucht hierfür dieses hier zum Beispiel oder für das oder das brauchen wir so einen kleinen Trick. Den sagen wir euch jetzt, und dann könnt ihr das eigentlich auch selbst machen. Und das wollen wir auch von euch.

Also, wir schauen uns das an. Beweis zu zweitens. Wir sehen uns hier beispielhaft an: Sinus x plus Sinus y gleich 2 Sinus von (x plus y halbe) mal Cosinus von (x minus y halbe). Das wollen wir jetzt zeigen, dass das funktioniert.

Gilt. Also, dafür brauchen wir, wie gerade schon angekündigt, einen kleinen Trick. Wenn man den einmal weiß, dann nutzt man den und dann kriegt man das auch hin. Wenn man den nicht weiß, dann hat man Pech gehabt. So ist das immer mit Tricks.

Den müsst ihr euch also merken. Wir müssen ja irgendwie von diesem hier auf \(x + \frac{y}{2}\) kommen. Bei diesen Additionstheoremen haben wir immer irgendwie eine Summe oder eine Differenz. Wir haben nicht \(\sin(x)\), sondern \(\sin(x + \text{irgendwas})\). Das heißt, wir spalten das \(x\) jetzt mal auf in eine Summe von zwei Termen.

So, wir schreiben also \( x \) bzw. \( y \) dann auch einfach um als eine Summe. \( x \), das ist jetzt der Trick, \( x \) ist dasselbe wie das. Und \( y \) ist dasselbe wie das. Auf den ersten Blick sieht das nicht so aus, als würde hier jetzt \( x \) rauskommen.

Wenn man das aber mal auf einen Nenner schreibt, haben wir schon jeweils als Zweiter, dann haben wir x plus y plus x minus y. Das heißt, y hebt sich schon mal raus und wir haben 2x durch 2, also x. Hier das Gleiche, es kommt y raus. Das ist der Trick. Und wenn wir das jetzt einfach mal nachrechnen, wenn wir das jetzt machen mit den Additionstheoremen und das x dann schreiben als diesen Ausdruck hier, dann können wir die Additionstheoreme darauf anwenden. Also der erste Ausdruck, der Sinus von x. Wir schreiben Sinus x jetzt mal um als Sinus von diesem Ausdruck. Wir wissen ja, das ist dasselbe wie x, also gilt die Gleichheit. Jetzt können wir nämlich wieder das Additionstheorem 3 nehmen, was ja die Summen beim Sinus beinhaltet.

Und dann wissen wir ja schon, das ist Sinus mal das erste Mal Cosinus von dem zweiten plus Cosinus von dem ersten mal Sinus von dem ersten mal Sinus von dem zweiten. Schreiben wir einfach mal hin. Nur das Additionstheorem, das wäre dann quasi unser x und das wäre unser y aus dem Additionstheorem. So, was haben wir jetzt? Das ist das erste. Damit sind wir jetzt schon fertig.

Jetzt schauen wir uns noch den Sinus von y an. Danach addieren wir die beiden. Dann werden wir sehen, dass sich genau schnell einige Dinge herauskürzen und wir genau das Ergebnis haben. Also schauen wir uns das an. Dasselbe gilt für den Sinus von y. Da müssen wir gleich noch einen Schritt mehr machen. Okay, Sinus von y, einfach hier das, was wir uns gerade überlegt haben, dann kommt das y heraus.

Dann wieder Additionstheorie im 3. Sinus von dem ersten, Kosinus von dem zweiten plus Kosinus von dem ersten mal Sinus von dem zweiten. Zack, zack, zack. Das sieht jetzt ein bisschen anders aus, als wir das brauchen, denn gerade bei Sinus x hatten wir alles mit x minus y. Das wollen wir jetzt wieder haben, mit x minus y und x plus y. Hier haben wir y plus x, das ist kein Problem, das können wir als x plus y schreiben. Aber das hier, okay, das ist noch nicht ganz das, was wir brauchen.

Also nutzen wir noch die Eigenschaften von Sinus, der ja ungerade ist, und Cosinus, der ja eine gerade Funktion ist. Wenn man das verwendet – Cosinus ist gerade, Sinus ist ungerade – kann man diesen Ausdruck so schreiben. Das hat zwar nichts damit zu tun, aber jetzt können wir das einfach andersherum schreiben. Hier haben wir jetzt ein Minuszeichen; das lassen wir so, wir ändern nur oben die Reihenfolge und drehen es wieder um. Was haben wir jetzt genau gemacht? Erstens: Im ersten Term haben wir beim Cosinus statt \( y - x \) jetzt \( x - y \) geschrieben.

Das können wir natürlich nicht so einfach machen, denn wir hängen \( y - x \) und \( y \cdot x - y \) zusammen. Ja, \( y - x \) ist dasselbe wie \( -x - y \). Ja, so. Aber der Kosinus ist gerade, und der Kosinus von \( -x - y \), also von dem hier, ist genau dasselbe wie der Kosinus von \( x - y \), also ohne das Minus. Man könnte das Minuszeichen also weglassen, weil der Kosinus eine gerade Funktion ist. Das haben wir dann gemacht, und dann sind wir also hier.

So, beim zweiten Term hier, im zweiten Term haben wir ebenfalls, diesmal beim Sinus, wir hatten ja vorher y minus x, jetzt haben wir x minus y. Das haben wir gemacht, weil der Sinus eine ungerade Funktion ist. Wir wissen ja schon, aber was ist mit dem Minus hier? Das verschwindet ja beim Sinus dann nicht. Sinus von dem ist dasselbe wie minus Sinus von dem. Und das Minus haben wir hier vorne hingezogen. Das ist ja mal genommen, das können wir auch nach vorne ziehen.

Also, wir haben statt \( y - x \) \( x - y \) geschrieben. Hier bleibt, da der Sinus ungerade ist, das Minuszeichen über. Und das haben wir dann vor den zweiten Term. Statt plus haben wir jetzt hier ein Minus. Gut, so, und jetzt haben wir Sinus \( y \).

Und jetzt sieht man schon, gerade hatten wir sin(x), da tauchte dieser Term auf und dann wieder dieser Term. Und beim sin(y) haben wir den ersten Term genauso und den zweiten mit Minus. Wenn wir die beiden jetzt also addieren, was wir ja wollen, sin(x + y) = sin(x) + sin(y), dann heben sich der hintere Term hier und von dem ersten komplett weg. Einmal plus, einmal minus, ist null, können wir weglassen. Vorne war dasselbe, also ist das 2 mal den vorderen Term.

Und das ist genau das, was wir zeigen wollten. Also sind wir damit fertig. Max rechnet euch jetzt noch ein paar von den anderen vor, und den Rest müsst ihr dann selber in den Übungen machen. Also bis gleich. So, dann schauen wir uns noch mal ein paar Gleichungen an, in denen Sinus und Cosinus vorkommen.

Wir starten direkt mit der ersten Aufgabe. Wir sollen mit Hilfe der Additionstheoreme zeigen, dass gilt: \(\cos(x) - \cos(y) = -2 \cdot \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\). Was wir jetzt machen wollen, ist, die linke Seite etwas umzuformen, die Additionstheoreme zu verwenden und dann auf die rechte Seite zu gelangen. Eine ähnliche Aufgabe hattet ihr gerade schon in der Vorlesung gesehen. Der erste Schritt ist natürlich, dass wir links hier \(x\) und \(y\) im Argument stehen haben, aber rechts \(\frac{x+y}{2}\) bzw. ...

X minus y halbe. Das heißt, wir benutzen wieder diesen Trick und stellen x und y etwas anders dar, um eben mit dieser anderen Darstellung dann die Additionstheoreme benutzen zu können. Also, wir wissen ja schon, wo wir hinwollen ungefähr. Das heißt, im Argument soll sowas stehen wie x plus y halbe oder x minus y halbe. Bedeutet, x stellen wir also dar als x plus y halbe plus x minus y halbe.

Wenn ihr das jetzt mal ausrechnet, müsst ihr nur die Zähler verrechnen. Dann steht da 2x durch 2. Das ist x. Also stimmt diese Gleichheit. y kann man natürlich nicht so darstellen. Da muss man hier ein bisschen etwas an den Vorzeichen ändern. y schreiben wir als y plus x halbe plus y minus x halbe.

Hier wieder das Gleiche. Die Nenner sind gleich, die Zähler können verrechnet werden. Das bedeutet, es kommt dann wieder 2y durch 2 heraus, und das ist y. Also stimmt auch diese Gleichheit. Diese Darstellung von x und y setzen wir jetzt hier auf die linke Seite ein und werden dann jeweils auf den ersten Kosinus und den zweiten Kosinus das erste Additionstheorem anwenden.

Also starten wir mal. Wir betrachten zuerst den Kosinus von x und dann im Anschluss den Kosinus von y, und dann fassen wir das alles zusammen. Also, den Kosinus von x kann ich jetzt auch schreiben als den Kosinus von diesem Ausdruck. So, und jetzt kann ich hier drauf, weil ich ja im Argument eine Addition habe, das erste Additionstheorem anwenden. Das besagt, dass es dann nichts anderes ist als der Kosinus von dem ersten Summanden, also \( \frac{x + y}{2} \), mal den Kosinus vom zweiten Summanden, minus den Sinus von dem ersten Summanden, mal den Sinus von dem zweiten Summanden. So, mehr können wir jetzt hier auch erstmal nicht machen.

Das heißt, es ist schon mal gut, wir haben den Cosinus von x so dargestellt. Und wenn man sich das hier oben anguckt, dann hat man ja schon ungefähr die, und zwar hier, es fehlt irgendwie noch das Minus 2, und der Cosinus mal diesem Cosinus, das muss irgendwie wegfallen. Okay, dann schauen wir uns hier oben noch den Cosinus von y an. Habe ich schon mal hingeschrieben. Jetzt ersetzen wir das Argument des Cosinus, also das y, durch diese Darstellung, die wir gerade hingeschrieben haben.

Und dann können wir dieses gleiche Zeichen hier auch schreiben. So, nun wenden wir wieder das erste Additionstheorem darauf an. Das heißt, es gilt, das ist nichts anderes als der Cosinus von dem ersten Summanden mal Cosinus von dem zweiten Summanden, minus Sinus von dem ersten Summanden mal Sinus von dem zweiten Summanden. So, wie war nochmal die Aufgabe?

Wir sollen zeigen, dass der Cosinus von x minus der Cosinus von y gleich irgendetwas ist, aber ohne den Cosinus. Und was würden wir jetzt eigentlich rechnen? Ja, eigentlich diesen Ausdruck. Der Cosinus von y ist gleich irgendetwas, aber ohne den Cosinus. Und was würden wir jetzt eigentlich rechnen?

Ja, eigentlich diesen Ausdruck minus diesen Ausdruck. Und der Cosinus muss also wegfallen. Und das, was hier hinten steht, muss auch übereinstimmen, damit wir quasi minus das, minus das haben und dann haben wir eben minus zweimal das sozusagen. Okay, aber man sieht, das hier stimmt aber noch nicht mit dem überein und das hier stimmt nicht mit dem überein. Das heißt, wir können das gar nicht so leicht verrechnen.

Aber schauen wir uns mal hier zunächst diesen Kosinus an. Was man jetzt hier machen kann, ist, man kann im Argument eine -1 ausklammern. Dann erhalten wir das. Und das Gute ist, der Cosinus ist eine gerade Funktion. Das heißt, den Faktor -1 kann man einfach weglassen.

Das heißt, wir können einfach weglassen, und es bleibt nur noch das Übrige. Das ist das Coole an geraden Funktionen, dass man den Faktor minus 1, wenn man ihn im Argument ausgeklammert hat, einfach weglassen kann. Und es ist immer noch gleich. Und dann stimmt das hier überein. Das ist schon mal gut, aber hier hinten noch nicht. Und jetzt kommt das Besondere vom Sinus.

Der Sinus ist eine ungerade Funktion. Das heißt, wenn ich im Argument eine Minus 1 ausklammere, kann ich die nicht einfach weglassen wie bei geraden Funktionen, aber ich kann den Faktor Minus 1 quasi vor die Funktion schreiben. Also ich kann schreiben: Minus, also quasi Minus 1 mal, das lassen wir mal weg, einfach Minus, Sinus von dem Argument ohne den Negativen, also ohne Minus 1. So, und dann habe ich das hier auch gleich. Und dieses Minus hier und dieses Minus wird dann eben zu Plus.

Das schreiben wir mal auf. Also es gilt, da der Cosinus eine gerade Funktion ist und der Sinus eine ungerade Funktion ist, gilt dann einfach: Okay, okay, das schreiben wir ab. Ja, hier drin ändert sich das Vorzeichen einfach im C-Land. Das heißt, wir schreiben hier x - y hin. Die Begründung habe ich gerade ausführlich dahin geschrieben. So, und jetzt nicht mehr minus, sondern minus, und das Minus, das hier entsteht, wenn ich das ausklammere und davor ziehe, wird also zu plus.

Das schreiben wir ab. Und hier hinten können wir dann schreiben: Sinus von x minus y halbe. Weil ich habe die Begründung ja gerade hingeschrieben. So, und jetzt kann man anfangen, das zusammenzufassen.

Insgesamt gilt dann also: Was war die linke Seite der Gleichung? Das war \(\cos(x) - \cos(y)\). Das ersetzen wir jetzt hierdurch, beziehungsweise hierdurch. Also einfach abschreiben. Das lasse ich jetzt also mal schneller durchlaufen. Das ist also jetzt \(\cos(x) - \left[ \text{weil wir ganz viele Runden haben, machen wir mal eine eckige} \right]\).

Und jetzt minus Kosinus y, also schreiben wir das einmal in diese Klammer. So. Und jetzt sieht man hoffentlich, dass einiges wegfällt. Und zwar, hier steht ja quasi Kosinus von x plus y halbe mal Kosinus von x minus y halbe und das steht hier auch. Genau das Gleiche.

Aber hier steht Minus, das heißt, das Minus. Das Gleiche ergibt natürlich 0, das heißt, der Kosinus fällt weg, und hier steht Minus Sinus von x plus y halbe mal Sinus von x minus y halbe minus, ja, minus das Gleiche. Das ist also minus 2 mal eben diesen Ausdruck. Lese ich jetzt nicht nochmal vor. Insgesamt erhalten wir also minus 2 mal diese Sinus-Ausdrücke hier, und das ist genau das, was wir zeigen sollten. Die Aufgabe war, x und y anders darzustellen, sodass man ungefähr schon die Form der rechten Seite hat. Und dann benutzt man, dass der Kosinus eine gerade Funktion ist und der Sinus eine ungerade Funktion ist. Und dann kann man am Ende die Darstellung zusammenfassen, und dann kürzt sich da einiges weg. In der zweiten Aufgabe müssen wir drei Gleichheiten zeigen, gekennzeichnet mit A, B und C. Und das Coole an der Aufgabe ist, dass man scheinbar hier vier Ausdrücke hat, die schon sehr unterschiedlich aussehen. Also finde ich zumindest, aber alle vier gleich sind. Das heißt, wenn ihr irgendwann mal Kosinus von 2x rausbekommt und jemand anderes zum Beispiel 1-2 mal Sinus Quadrat x, dann sieht das erstmal aus, als ob einer von euch einen Fehler gemacht hätte, aber in Wirklichkeit stimmt das Ergebnis überein.

Okay, wir starten direkt hier mit der Gleichheit, die mit a gekennzeichnet ist. Die wollen wir zeigen. Und zwar benutzen wir wieder das erste Additions-theorem und wenden das auf die linke Seite an. Noch geht es nicht, aber wir werden gleich zeigen, was man hier macht. Denn für das Additions-theorem braucht man im Argument eine Summe.

Das heißt, man schreibt 2x als x plus x. Und jetzt wendet man das erste Additionstheorem darauf an. Das heißt, hier kommt heraus: Kosinus von dem ersten Summanden, also von x, mal Kosinus von dem zweiten Summanden, also von x, minus Sinus von dem ersten Summanden, also x, mal Sinus von dem zweiten Summanden, also x. Ja, und ihr seht, Kosinus x mal Kosinus x ist Kosinus Quadrat x, minus Sinus x mal Sinus x, das ist minus Sinus Quadrat x. Das heißt, die erste Gleichheit haben wir gezeigt. So, dann kommen wir zur zweiten Gleichheit, die hier mit b gekennzeichnet ist. Wir starten hier mit der linken Seite.

Und dann benutzen wir den trigonometrischen Pythagoras, um hier auf die rechte Seite dieser Gleichung zu kommen. Schauen wir uns das mal an. Also, wir schreiben die linke Seite hin: Cosinus Quadrat x minus Sinus Quadrat x. Und jetzt gilt ja der trigonometrische Pythagoras. Und zwar gilt: Sinus Quadrat x plus Cosinus Quadrat x ist für alle x aus ℝ gleich 1.

Und jetzt kann ich diese Gleichung einfach nach Sinusquadrat x umformen. Dann steht hier Sinusquadrat x gleich, rechne auf beiden Seiten, also minus Cosinusquadrat x, dann steht hier 1 minus Cosinusquadrat x. Das heißt, ich ersetze hier Sinusquadrat x durch 1 minus Cosinusquadrat x. Und dann bin ich auch quasi schon fertig. Sinusquadrat x ist gleich 1 minus Cosinusquadrat x. Ersetzen wir das einmal hier, nicht vergessen, Klammer auf und dann den Ausdruck. Ja, und jetzt, die Klammern lösen wir auf. Dann steht hier Cosinusquadrat x minus minus, also plus Cosinusquadrat x. Das ist zweimal Cosinusquadrat x minus 1.

Und damit haben wir auch die Gleichheit, die mit b gekennzeichnet ist, gezeigt. So, dann kommen wir zu der Gleichung, die mit c gekennzeichnet wurde. Die wollen wir nicht sofort beweisen, sondern wir machen einen kleinen Umweg. Und zwar wollen wir zunächst zeigen, dass der Cosinus-Quadrat von x minus Sinus-Quadrat von x gleich der rechten Seite dieser Gleichung ist, also 1 minus 2 mal Sinus² von x. Dafür benutzen wir wieder den trigonometrischen Pythagoras und formen quasi diesen nicht nach Sinus²x um, sondern nach Cosinus²x.

Ich möchte das gleich noch einmal machen. Also wieder das hier. So, und jetzt schauen wir uns nochmal den trigonometrischen Pythagoras an: Gleich 1 für alle x aus ℝ. Das forme ich jetzt nicht nach Sinus-Quadrat x um, wie gerade, sondern nach Cosinus-Quadrat x. Das heißt, hier steht Cosinus-Quadrat x ist gleich 1 minus Sinus-Quadrat x. Und 1 minus Sinus-Quadrat x ersetze ich jetzt hier durch Cosinus-Quadrat x. Also schreiben wir das nochmal über das gleiche Zeichen, was wir jetzt also machen.

Und dann ersetzen wir \(\cos^2 x\) eben hier durch. Und da sieht man \(1 - \sin^2 x - \sin^2 x\), das kann man zusammenfassen zu \(1 - 2 \cdot \sin^2 x\). So, jetzt haben wir die Gleichheit, die mit \(c\) gekennzeichnet wurde, noch nicht gezeigt. Aber schauen wir uns das mal an. Es gilt scheinbar \(\cos^2 x - \sin^2 x = 2 \cdot \cos^2 x - 1\).

Und es gilt: Ja, Cosinus Quadrat x minus Sinus Quadrat x ist gleich 1 minus 2 mal Sinus Quadrat x. Das bedeutet, da die linke Seite hier jeweils gleich ist, müssen die rechten Seiten also auch gleich sein. Es gilt dann also, dass diese rechte Seite gleich dieser rechten Seite ist. Und das war genau die Gleichheit, die mit c gekennzeichnet wurde. Also schreiben wir auf: mit b gilt dann 2 mal Cosinus Quadrat x minus 1 ist gleich 1 minus 2 mal Sinus Quadrat von x. Also genau das, was wir zeigen sollten. So, wir haben noch eine Kleinigkeit zu tun, denn wir sehen uns jetzt noch den Tangens an.

Definition 224: Die Tangensfunktion wird definiert als Quotient von Sinus und Cosinus. Also geht der Tangens von ℝ ohne k plus 1/2 mal π, wobei k aus ℤ stammt, nach ℝ. Lassen Sie uns gleich ansehen, warum das so ist. Der Tangens von x wird definiert als Sinus x durch Cosinus x. So definieren wir das. Hinweis: Der merkwürdige Definitionsbereich, also ℝ ohne diese komische Menge hier, hängt natürlich damit zusammen. Habt ihr euch ja schon gedacht, wir dürfen ja nicht durch null teilen.

Also alles, wo der Cosinus null wird, müssen wir rausnehmen. Und das hatten wir ja letztens vorhin schon überlegt. Das ist genau diese Menge. Okay, also liegt das natürlich daran, dass der Nenner, also der Cosinus, hier nicht null werden darf. Jawohl.

Korollar 2.25. Der Tangens, also wir wollen noch ein paar Eigenschaften des Tangens betrachten. Der Tangens ist nicht \( 2\pi \)-periodisch, sondern \( \pi \)-periodisch. Das können wir uns kurz überlegen, warum das so ist. Denn für \( k \) aus \( \mathbb{Z} \) und \( x \) aus \( D \), also aus dem Definitionsbereich, gilt: \( \tan(x + k \cdot \pi) \).

Nach Definition wäre der Sinus von \(x + k \cdot \pi\) durch den Cosinus von \(x + k \cdot \pi\) und wir haben ja vorhin für den Sinus von \(x + k \cdot \pi\) und den Cosinus von \(x + k \cdot \pi\) schon Ergebnisse gehabt. Das war nämlich oben mit 2,22, genau, minus 1 hoch \(k\) mal Sinus \(x\) und unten war das minus 1 hoch \(k\) mal Cosinus \(x\). Da können wir natürlich das minus 1 hoch \(k\) einfach kürzen und wir haben dann Sinus \(x\) durch Cosinus \(x\) und der Sinus \(x\) ist genau so definiert wie Tangens \(x\). Also der Tangens von \(x + k \cdot \pi\), also \(x +\) ein Vielfaches von \(\pi\), nicht wie bei Sinus und Cosinus, ein Vielfaches von \(2\pi\), sondern von \(\pi\), ist wieder Tangens \(x\). Haben wir das damit dann auch direkt bewiesen. Zweitens, der Tangens ist eine ungerade Funktion. Hätte man sich auch denken können, Sinus ist ungerade, Cosinus ist gerade, Sinus ist durch Cosinus, ungerade Funktion.

So, müssen wir auch mal kurz nachweisen, denn wir müssen also herausfinden, dass der Tangens von minus x gleich minus Tangens von x ist. Also Tangens von minus x, wir setzen das einfach in die Definition ein, das ist der Sinus durch den Kosinus von diesem minus x. Beim Kosinus können wir das Minuszeichen weglassen. Beim Sinus können wir den Sinus herausziehen. Also ergibt sich minus Sinus x durch minus Kosinus x, das ist natürlich minus Tangens von x. Tangens von minus x ist also gleich minus Tangens von x. Damit haben wir gezeigt, dass der Tangens eine ungerade Funktion ist. Drittens, den Graphen der Tangensfunktion sehen wir uns an.

Da sieht man auch, dass der Sinus periodisch ist. Er geht immer von minus unendlich bis plus unendlich und läuft immer durch Vielfache von π. Sehen wir also auch schon die Nullstellen. Es ist auch klar, dass die Nullstellen vorhanden sind, denn der Sinus ist hier oben und der Sinus wird dann 0 bei Vielfachen von π. Jawohl.

Viertens, spezielle Werte. Schauen wir uns das mal an. Also der Tangens von 0 ist 0. Der Tangens von π/6 ist \(\sqrt{3}/3\). Man kann das auch umschreiben zu:

Wurzel aus Pi Viertel, äh, Wurzel. Der Tangens aus Pi Viertel ist 1, der Tangens aus Pi Drittel ist Wurzel 3, und der Tangens aus Pi Halbe ist nicht definiert. Das ist halt so etwas hier. Das sind genau die Ränder davon. Da ist kein Tangens definiert.

Warum nicht? Haben wir ja gerade gesagt, weil da der Cosinus 0 wird. Dürfen wir nicht einsetzen. Okay, und damit sind wir dann auch am Ende für heute. Wir sagen danke für eure Aufmerksamkeit und wir sehen uns wieder zur nächsten Vorlesung.

Bis dahin, ciao. Danke.